Главная Промышленная автоматика.

Xdx.

По предположению, X является функцией от х и, очевидно, отрицательной, так как точка должна двигаться к началу О, каково бы ни было ее начальное положение, для чего сила должна быть везде направленной к О. Положим для краткости

Xdx = - {x),

где ср(л:) - положительная функция, возрастающая вместе с и обращающаяся в нуль при л: = 0. Уравнение примет вид

Отсюда для определения времени т, необходимого точке для достижения положения О, можно вывести формулу

=7т /

У9(-*о)-и) Положим

4f{x) = Z, Vf{XQ) = ZQ, x = {z), где t)-функция, обратная ср. Получим

-У 2 / yjz

Для того чтобы движение было таутохронным, необходимо и достаточно, чтобы т не зависело от Xq, т. е. от Zq. Чтобы выразить это, напишем, что производная от т по параметру Zq равна нулю. Чтобы избавиться от бесконечных членов в выражении этой производной, сделаем пределы не зависящими от Zq, положив г - ZqU Тогда

dT т } rUo")o«+4f (o«)

Zq-V 2 J

dzo r 2 J Yzq-Zqu,

к точке сил, Xq - абсцисса начального положения, которую мы предполагаем положительной. По теореме кинетической энергии имеем



dza V 2 J

Это выражение должно быть равно нулю, каково бы ни было Zq, для чего подынтегральная функция должна тождественно обращаться в нуль. В противном случае можно будет выбрать г настолько малым, чтобы в пределах от О до Zq эта функция имела постоянный знак и тогда интеграл не будет равен нулю. Следовательно, функция ф должна удовлетворять дифференциальному уравнению

2f (2)+jf (г)-0,

из которого получим

тШ--ё = f(2)K=c, ф(2) = 2су1+с.

Так как обращается в нуль вместе с z, ибо переменные z

и X обращаются в нуль одновременно, то С = 0 и ф (2) = 2С Зг. Из уравнения л; = ф (2) получим, наконец,

х = 2СУг. г = .

откуда видно, что ср (л:) = и

X=-i(x) = -

Следовательно, единственной зависящей только от х силой, вызывающей прямолинейное таутохронное движение, является притяжение, пропорциональное расстоянию. Это движение было рассмотрено выше (п. 211).

2°. Равнодействующая сил зависит от положения и скорости точки. Мы ограничимся для этого случая лишь некоторыми библиографическими ссылками. Лагранж указал (Memoires de Berlin, 1765 и 1770) общий закон силы, при которой таутохронизм будет обязательно иметь место и который как частный случай содержит предыдущий закон. Но, как заметил Бертран, формула Лагранжа не дает всех законов для силы, при которых движение удет таутохронным.

Отметим также статью Бриоши, содержащую формулу, более общую, чем формула Лагранжа (Annali ... da Tortolini, Rome, 1853 н Mecanique de Jullien, T. I), и статью Гатона де ла Гупийёра (Journal de Lioville, 2 сер., т. XIII). (См. упражнение 5 и 6.)

214. Дан закон прямолинейного движения, найти силу. Эта задача будет определенной в зависимости от того, будет ли дан общий закон прямолинейного движения с двумя произвольными постоянными или только частный закон движения.

А. Допустим, что дано

x = 4{t, Xq, l/o), (1)

ИЛИ, возвращаясь к переменной z - ZqU,



Б. Если, наоборот, дан только частный закон движения, не содержащий произвольных постоянных, или содержащий только одну произвольную постоянную, то задача будет неопределенной. Допустим, например, что постоянной нет вовсе и что дано

x = <f{t). (3>

Тогда имеем

и = <р(/), X = mY{t)-

Из этих уравнений можно бесчисленным множеством способов получить выражение для X в функции х, v и t. Следовательно, существует бесчисленное множество законов для силы, способной произвести заданное частное движение.

Вопрос может стать точнее, если заранее подчинить X некоторым условиям. Так, например, если подчинить выражение X условию, что оно должно зависеть только от положения х, то задача становится определенной, так как надо будет найти t из уравнения движения (3) и внести его в выражение для X. Задача получается тоже определенной, если наложить условие, согласно которому X зависит только от v или только от t.

Пример. Пусть X = sin t. При = о получаем Xq = о, Wq = 1- Из этого уравнения имеем

и = cos , Х=~т sin t. Отсюда получаем следующие законы для силы:

- т sin t, (а>

- т yl - v\ (Р)

- тх, (7).

-{x + s\nt), (Ь)

и далее, комбинируя первое равенство бесчисленным множеством способов. Если мы будем искать наиболее общие движения, производимые этими силами, То\ получатся весьма различные движения, но все они при частных начальных

где Xq - начальное положение точки при t = 0 и Vq - начальная скорость. Нужно найти закон силы, способной сообщить заданное движение точке, пущенной из произвольного положения Xq с произвольной скоростью vq- Эта задача является определенной. Имеем

= <р(. 0. «о), (2)

X = m = mcp" (t. Xq, Vq).

Разрешая уравнения (1) и (2) относительно Xq и Vq и подставляя в выражение для X, получим искомый закон

•=»(-4f-)-

Пример. Если заданное движение определяется формулой

x"- = + (xQ + VQt)\





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 [95] 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0039