Главная Промышленная автоматика.

i dv.

Когда функция ср (v) не равна нулю, то она положительна. Вследствие этого подынтегральное выражение в Н всегда меньще подынтегрального выражения в поэтому Н меньше чем Ну и точка в воздухе поднимается на меньшую высоту, чем в пустоте. Точно так же Т меньше чем Tj, и точка затрачивает меньше времени для поднятия на наибольшую высоту, чем при движении в пустоте.

По истечении времени Т точка останавливается и затем начинает падать по закону, установленному выше для нисходящего движения при отсутствии начальной скорости. Когда точка проходит через свое начальное положение, она имеет скорость, меньшую чем Vq. В самом деле, она поднимается на меньшую высоту, чем если бы она была брошена вверх в пустоте с той же начальной скоростью; кроме того, она падает тоже медленнее, так как ее падение замедляется сопротивлением воздуха. По этим двум причинам скорость при возвращении будет меньше, чем та же скорость при движении в пустоте, т. е. меньше чем Vq.

Полагая снова gf (v) = kv", мы сумеем легко выполнить интегрирования в случае п= 1. Имеем

kt = - / i = in.+!L,

J g + kv g + kVo

откуда, потенцируя, получим

g + kvig + kVoye-K (с)

Точка поднимется на максимальную высоту по истечении времени

r = i.n(l-f4

Заменим в уравнении (с) скорость v через и проинтегрируем. Получим

gt + kx = (g+ kVo) Полагая k стремящимся к нулю, мы придем к формуле движения в пустоте

x = vat-gfi.

Положим теперь л = 2. Тогда, заменяя через 1 величину g/k, получим

Если ср (v) равно нулю, то получаются формулы движения в пустоте



откуда, полагая р = СХ, имеем

v = ltg(?-tV"kg)-

Постоянная р определится из начального условия Vo = Xtgp. Время, необходимое для поднятия на максимальную высоту, на которой v = 0, равно

Р dx

Т = ..! . Исходя из выражения для скорости, в котором v = - , после

У kg dt

квадратуры найдем

. 1 . cos (p-/fe)

3°. Прямолинейное движение тяжелой материальной точки по наклонной плоскости с учетом трения и сопротивления среды.

Точка, пущенная из положения О (рис. 137) по линии Ох наибольшего наклона плоскости, опишет прямую, наклон которой к горизонту мы

обозначим через /. Силами, приложенными к точке, являются вес mg, сопротивление среды, которое мы будем считать пропорциональным w", R = mkv", направленное в сторону, противоположную скорости, нормальная реакция N плоскости и, наконец сила трения F, также направленная в сторону, противоположную скорости. Эта сила, согласно экспериментальным законам трения (п. 195), не зависит от скорости точки и пропорциональна нормальной реакции: F = fN, где / есть коэффициент трения.

Исследуем подробно нисходящее движение. Возьмем ось Ох, направленнук> вниз, как на чертеже, и перпендикулярную к ней ось Оу. Выписав оба уравнения движения, имеем


Рис. 137.

= mgslnl - R-F, mN-mgcost.

а(2 -------

Так как у все время равно нулю, то

N - mg cos /, F = fN = fmg cos /. Заменив R его значением mto", получим уравнение dx

= ig sin / - fg COS /) - kv.

Необходимо различать три случая в зависимости от того, будет ли первый член положительным, отрицательным или равным нулю.

Первый случай: tg / > /. В этом случае первый член sin / - fg cos / положителен. Обозначая его через g, получим

dx dt

= g-kv".

Это уравнение идентично уравнению нисходящего движения по вертикали в сопротивляющейся среде и отличается от него лишь заменой g через

Скорость, следовательно, стремится к {gjk)".



dt dt

Следовательно, скорость будет убывать, так как ее производная отрицательна. Будет ли она обращаться в нуль? Интегрируя, получим

если п отлично от 1, и

если п = 1. Следовательно, если п больше или равно 1, то t неограниченно возрастает, когда v стремится к нулю: движение продолжается неопределенное время со скоростью, стремящейся к нулю.

Если п меньше 1, то t стремится к определенному пределу Т, когда v стремится к нулю:

По истечении этого времени скорость обратится в нуль и точка остановится, так как при скорости, равной нулю, пропадет, как и в предыдущем случае, сопротивление.

Пройденное расстояние х будет конечным или бесконечным в зависимости от того, будет ли п меньше или больше чем 2.

213. Прямолинейное таутохронное движение. Говорят, что прямолинейное движение является таутохронным, если точка, начинающая движение без начальной скорости и находящаяся под действием заданных сил, затратит одно и то же время для достижения определенного конечного положения, каково бы ни было ее положение в начальный момент.

1°. Равнодействующая сил зависит только от положения точки (метод Пюизб). Примем точку прибытия или точку тауто-хронизма за начало О. Пусть X-равнодействующая приложенных

Второй случай: XgKf. Первый член отрицателен, и, обозначая его через 1, мы получим уравнение

d"x , „

идентичное уравнению восходящего движения по вертикали с заменой g на Скорость будет уменьшаться и обратится в нуль по истечении конечного промежутка времени Т. Следовательно, к этому времени точка достигнет некоторого положения А, в котором сопротивление воздуха и трение скольжения при движении уничтожаются, так как скорость обращается в нуль. Точка будет оставаться все время в этом положении, так как если бы она начала двигаться, то сразу возникли бы силы трения и сопротивления среды, которые вновь обратили бы скорость в нуль. Следовательно, в этом положении А имеет место изученное в главе I равновесие между весом и наклонной реакцией плоскости, вызванной трением покоя.

Третий случай: tg / = /. В этом случае получится уравнение:

= - few", - = - kv".





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 [94] 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0043