Главная Промышленная автоматика.

Рис. 135.

tp(X) - tp(i;) •

Таким образом, координата также определяется как функция скорости при помощи квадратуры

/ cp(X)-<p(t,)-

Формула (1) показывает, что имеет тот же знак, что и разность ср (X) - ср (•«). Предположим, что начальная скорость, которая по условию положительна, меньше величины X. Тогда вначале производная -

будет положительна и скорость с течением времени будет возрастать от своего начального значения v. Скорость будет увеличиваться до тех пор, пока разность ср(Х) - ср(У) будет оставаться положительной, т. е. пока v не достигнет значения X. Покажем, что v не может достигнуть значения X за конечный промежуток времени. В самом деле, в уравнении (2) подынтегральное выражение

(p(t>) обращается в бесконечность при ц = Х и притом таким

образом, что " стремится к пределу l/tp(X). Вследствие

этого интеграл становится бесконечным при •у = Х. Уравнение (3) показывает, что х также становится бесконечным для этого значения скорости v. Отсюда вытекает, что скорость все время возрастает, но стремится к конечному пределу X.

1°. Нисходящее движение. Предположим, что движение является нисходящим (рис. 135). Примем за начало исходное положение тела, а за ось - вертикаль, направленную вниз. Уравнение движения будет

"Чр"" w -Р = mg-mgf (v)

= gll-(V)].

Так как ср (X) = 1, то можно написать

g = [?(X)-T()l. (1)

откуда при помощи квадратуры найдем время в функции скорости:

«о

Кроме того, заменяя в равенстве (1) dt через dx/v, получим

М , V dv

gx =



Если начальная скорость больше X, то производная

будет вначале отрицательной и скорость будет уменьшаться, приближаясь к I. Так же, как и выше, можно убедиться, что / ил: неограниченно возрастают, когда v стремится к Х.

Итак, какова бы ни была окорость в начальный момент, она будет стремиться к одному и тому же пределу ). и по истечении достаточно большого промежутка времени движение станет почти равномерным со скоростью X. Отсюда следует, что если начальная скорость будет в точности равна X, то движение будет точно равномерным. Заметим, что дифференциальное уравнение (1) действительно допускает решение v = X.

Допустим, что в воздухе падают два одинаковых однородных шара, массы которых различны. При одинаковых скоростях сопротивление будет одинаковым; следовательно,

mg<f(v) = mig<fi{v). (4)

Обозначим через X и Xj предельные скорости для обоих шаров, определяемые уравнениями ср(Х)=1, cpj(Xi)==:l. Легко видеть, что если nti > т, то ХХ. В самом деле, полагая в равенстве (4) V - X, получим:

Следовательно, <fi(X) меньше единицы и так как функция cpj - возрастающая, то X, > X. Это показывает, что большей массе соответствует большая предельная скорость, что находится в соответствии с опытом, показывающим, что более тяжелые тела падают в воздухе быстрее.

В качестве упражнения можно положить

gf (v) = kv".

При п целом, квадратуры, которые нужно выполнить, касаются рациональных дробей. Если л - число рациональное, п = , то, полагая v = и*>

по-прежнему приведем задачу к рациональным дифференциалам.

Если, например, п = 1, то уравнение (2) можно проинтегрировать, и мы получим

X - V

откуда находим первый интеграл

1 - v = {X - Vq) е-*.

Здесь мы действительно приходим к общим результатам: X - v имеет знак Л - Vq и когда / неограниченно возрастает, показательная функция стремится к нулю и V стремится к X. Заменяя v через и интегрируя, найдем

Xt-x= - (X - Vo)e-*+C.



Так как при / = О должно быть х = 0, то

с - -~, И - х = (1-Уо)

Таким образом, для х как функции времени получаем

где скорость \ заменена ее значением gjk.

Покажем теперь, что если k стремится к нулю, то уравнение, определяющее X, становится уравнением вида х = + у gP, которое определяет

свободное падение в пустоте. В самом деле, если в предыдущем равенстве мы заменим его разложением в ряд, то получим

и если й = О, то останется

X = VQt + l-gf.

2°. Восходящее движение. Направим теперь ось Ох вертикально вверх (рис. 136). По-прежнему R - mg<{v) и уравнение движения будет

(fix

Щ Рис. 136.

т. е.

- - mg~mg(fiv),

откуда, как и раньше, выведем:

Го в

»0

В этом случае всегда отрицательно и скорость все время

уменьшается. Она обращается в нуль по истечении конечного промежутка времени

и наибольшая высота, которой достигнет движущаяся точка, будет

g J 1 +





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 [93] 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0038