Главная Промышленная автоматика.

Получим

где h = vl - йХд. Следовательно,

Допустим сначала, что «о > О- Тогда точка будет все время удаляться от отталкивающего центра и ее скорость будет неограниченно возрастать вместе с х.

Допустим теперь, что Vq < 0. Так как в начале движения скорость отрицательна, то перед корнем нужно взять знак -. Пусть Л > 0. Пока точка приближается к началу О, ее скорость уменьшается до значения Vft; с этой скоростью движущаяся точка проходит через начало О и удаляется с неограниченно возрастающей скоростью. Если h отрицательно, то его

можно положить равным -йаз ff и тогда получим

Рис. 133.

где а обязательно меньше Xq, так как при х = Xq скорость г;» вещественна. Следовательно, движущаяся точка приближается к точке А (рис. 133) с абсциссой а и приходит в эту точку за конечный промежуток времени, так как время, необходимое для прохождения отрезка пути Xq - х, равное

- dx

. 1 г - ~ k J Yx-,

стремится к некоторому пределу Т, когда х стремится к а. По истечении промежутка времени Т скорость меняет знак и точка неограниченно удаляется от Л с постоянно возрастающей скоростью.

Интересно исследовать промежуточный случай, когда ft = О, или

Vf,= ±kXo.

Положим

vo= - kxo,

тогда

==- = -kx.

Скорость неограниченно уменьшается по мере того, как точка неограниченно приближается к началу О. Но она не может достигнуть его за

то уравнение для х принимает вид

X - X(fi~,

в этом случае точка неограниченно приближается к отталкивающему центру, никогда его не достигая, так как при неограниченном возрастании времени абсцисса х стремится к нулю.

Применение теоремы кинетической энергии. Можно применить другой метод исследования и интегрирования.

Умножим обе части уравнения движения на 2 и проинтегрируем.



1 = 1 In .

X k X

а это выражение неограниченно возрастает, когда х стремится к- нулю. Точка О отличается той особенностью, что она является положением неустойчивого равновесия; движущаяся точка, помещенная в начало О без начальной скорости, останется в покое; но если ее немного удалить, то отталкивание удалит ее еще больше. Чаще всего, когда движущаяся точка приближается к положению неустойчивого равновесия со скоростью, стремящейся к нулю, она к этому положению неограниченно приближается, никогда его не достигая.

4°. Движение точки, притягиваемой неподвижным центром, обратно пропорционально квадрату расстояния.

Когда X положителен, тогда Х= -(л/х; если х отрицателен, то надо принять X=(i/x2. Мы рассмотрим первый случай. Тогда уравнение движения, если положить (л = тй, будет

d"-x k-

dt х

Умножим его на 2 и проинтегрируем. Получим выражение теоремы

кинетической энергии

(dxY 2fe2

гдеЛ = ур--. Предположим, что точка выходит из Л1о с начальной

скоростью щ, которая или отрицательна, т. е. направлена к точке О, или равна нулю. Тогда вначале нужно принять

и движущаяся точка будет приближаться к точке О с неограниченно возрастающей скоростью, что физически невозможно, так как тогда удар должен был бы произойти раньше, чем расстояние между обеими точками обратится в нуль.

Если точке сообщается движение в положительную сторону, то сначала надо принять

dx ,,/"2fe3 ,

Если /г]>0, то по мере того, как х возрастает, скорость v убывает, но остается все время больше чем Yh; следовате11ьно, точка будет неограниченно удаляться и так как при этом ее скорость стремится к УЛ, то через некоторое время движение можно рассматривать как равномерное.

Если ft = О, то движущаяся точка обязательно достигнет любого положения на прямой, как бы удалено оно ни было, так как между точкой Mq и произвольной точкой Р с абсциссой р скорость больше чем У1Р\ из этого следует, что движущаяся точка неограниченно удаляется со скоростью, стремящейся к нулю.

конечный промежуток времени, так как время, необходимое ей для того, чтобы подойти к началу н& расстояние х, равно



причем а > Xq (рис. 134), так как радикал должен быть вещественным при X = Xq. Скорость будет сначала направлена в положительную сторону

и будет уменьшаться, пока х воз-

1 I I-1- растает. Движущаяся точка будет

О Мд В Д приближаться сколь угодно близко

к точке А с абсциссой а и до-Рис. 134. стигнет ее за конечный промежуток времени. После этого движение переменит направление, так как сила - притягивающая и она стремится, как и в случае, когда «о-СО> привести точку в начало О.

Задачу можно рассмотреть еще иначе, выполнив квадратуру, которая определит t в функции х. В самом деле, имеем

Если положить--ук = Ф, то задача сведется к интегрированию рациональной дроби.

5°. Точка притягивается неподвижным центром пропорционально л-й степени расстояния:

Х = -11Х».

В этом случае, если точка помещена без начальной скорости на расстоянии Xq от начала, то она его достигнет за промежуток времени

TXq J- т/<" + ) Г г" Ц-г) dz. n+ir 2(1 J

В этом выражении определенный интеграл является эйлеровым интегралом в(-Отсюда ясно, что единственным значением п, при ко-\n-\-l 2 /

тором Т не зависит от Xq, является п = 1 (пример 2).

6°. Исследование общего случая. Сила имеет вид X=mf (х) и уравнение движения будет

dx , , = 9W-

После первого интегрирования получим (теорема кинетической энергии)

() = 2 У ((Х-) dx-\-h = fix).

Допустим для определенности, что fix) является рациональной дробью. Знак перед корнем в начале движения определяется направлением, в котором точка начинает двигаться.

Если h отрицательно, то, полагая Л =---, приведем уравнение движения к виду





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 [91] 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0038