Главная Промышленная автоматика.

После второго интегрирования найдем ( t

тх= f J ср (/) dt

«о

dt + mVQ (t - to) + mxQ.

211, Приложение к движениям, происходящим под действием силы„ зависящей только от положения.

1°. Вертикальное движение тяжелого тела в пустоте.

В качестве оси примем направленную вверх вертикаль, проходящую через начальное положение точки. Обозначим через Vq алгебраическое значение начальной скорости, которое предполагается вертикальным. Сила, действующая на точку, равна в каждый момент времени -mg, н поэтому уравнение движения будет

d-x dx

Интегрируя первый раз,, находим dx

= v = -gt + «о, (2)

причем время отсчитывается от того момента, когда точка начинает двигаться. Интегрируя второй раз, получим

х-Л + Vot, (3)

и Проинтегрировав, получим

с mdv ,

«о

Так как dx = vdt, то

, mv dv Г mv dv ,

dx - --r-r-, x= --\- Xn-

Здесь X к t получились выраженными в функции вспомогательной переменной v. Последнее уравнение mvdv = f {v) dx вытекает также из теоремы кинетической энергии,, так как ср (v) dx есть элементар-

пая работа силы и mvdv~ d niifi.

3°. Сила зависит только от времени. Если, наконец, X есть-функция только времени t, то имеем

Интегрируя первый раз, получим

= f <?(t)dt + mVo.



..-а -.

этой высоте каждый раз через одну и ту же поверхность ,»--Л>--. X уровня.

-ГГ 2 S 2°. Движение материаль-

- ной точки, притягиваемой

неподвижным центром О про-Рис. 132. порционально расстоянию.

Примем точку О (рис. 132) за начало, а за ось - прямую OMq, которая будет траекторией. В качестве положительного направления примем OMq, где Mq - начальное положение точки, и обозначим через Vq начальную скорость.

Рассмотрим случай притяжения. В этом случае сила в какой-нибудь момент времени будет равна - (хх, где л положительно, каково бы ни было

положение точки, справа или слева от 0. Полагая - = й, получим уравнение

движения

+ ЙД: = 0. (1)

Это уравнение является линейным уравнением с постоянными коэффи-диентами без правой части. Его общий интеграл имеет вид

х = Асо%М-{-В sin kt,

где А и В - две постоянные. Скорость v есть производная от х по t

v = - Ak sin kt -f Bk cos kt.

Для определения постоянных дадим величинам х к v начальные значения Xq и Vq, которые они имеют при = 0. Получим

Xq = А, fо = Bk.

Значение х будет тогда

x = Xq cos kt-\- sin kt. (2)

если абсциссы отсчитываются от начального положения точки. Если положительно, то скорость, будучи вначале положительной, затем убывает и обращается в нуль по истечении промежутка времени V(,lg. Начиная с этого момента, скорость становится отрицательной и неограниченно увеличивается по абсолютному значению. Исключая t из равенств (2) и (3), найдем

v- = vl - 2gx.

К этому же соотношению можно прийти, применяя теорему кинетической энергии, т. е. умножая обе части равенства (1) на и интегрируя.

Таким образом,

v±Yvl-2gx .

При сделанном нами предположении, что Vq > О, точка начинает двигаться вверх и в начале движения ее скорость положительна. Следовательно, перед радикалом надо взять знак-}-. Пока х будет увеличиваться до 1/2, скорость будет уменьшаться до нуля, после чего точка начнет падать и тогда перед радикалом надо будет взять знак -. Полученное нами выражение для скорости показывает, что на одной и той же высоте, как при движении вверх, так и лри движении вниз, точка имеет скорость, одинаковую по абсолютному

значению. Точка проходит на



при х = Xq должно быть V = Vq, следовательно, hvl + k?xl

и h является существенно положительной величиной, большей, чем kx или равной ей; следовательно, мы можем предположить, что h = ka, причем а>Хо. Тогда уравнение движения принимает вид

[чгУ = ( - •)- = ± * v, (4)

и время t определяется элементарной квадратурой

ж»

приводящейся к арксинусу. Мы приходим, таким образом, с иной точки зрения к уравнению движения (2). Формула (4) показывает, что х может изменяться только между - а к-\-а для того, чтобы радикал был вещественным. Когда X изменяется от - а до а перед радикалом (4) следует брать знак -j-, а когда х уменьшается от -f а до - а, нужно брать знак - .

3°. Точка отталкивается неподвижным центром пропорционально расстоянию. Уравнение движения

dx d-x

dt dt

является линейным с постоянными коэффициентами и его общий интеграл имеет вид

е + е-" VQ е-е-"* x-Xq 2 I- k 2

где Xq п Vq - начальные абсцисса и скорость. Если

1/0 = - kXQ,

Следовательно, движение является простым колебанием периода Т = ~ (вперед и обратно). Для нахождения амплитуды колебания положим:

Хс,= а cos а, = - а sin а, а = + 1 / „2 i

k / -0 -г fe2 •

Тогда

x = acos (kt + а). (3)

Следовательно, х изменяется от - а до + а, т. е. амплитуда равна а. Если начальная скорость равна нулю, то

х = Xq cos kt.

В этом случае время, необходипое точке для достижения положения О, равно четверти периода Т, т. е. тс/2й. Оно не зависит от Xq. Этот результат выражают, говоря, что движение является таутохронним.

Применение теоремы кинетической анергии. Умножая обе части уравнения движения на 2dx и интегрируя, получим





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 [90] 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037