Главная Промышленная автоматика.

f g G cos RG LX+MY+NZ

Следовательно, / есть найденное общее значение равных отношений, входящих в уравнения цен-Рис. 23. тральной оси.

Произвольное число заданных винтов всегда складывается в один винт. Действительно, каждый заданный винт представляет собой систему трех векторов; следовательно, совокупность заданных винтов представляет собою некоторую систему векторов, эквивалентную согласно установленным выше правилам одному винту, способ определения которого известен.

Единичным винтом (vis) называется винт, у которого вектор OR равен единице:

Б этом случае величина / приводится к LX-MY-\-NZ; ее называют параметром или шагом единичного винта.

Болл показал полезность понятия винта для кинематики и механики твердого тела. Перечисление многих работ, опубликованных им по этому вопросу, можно найти в Bulletin Bibllographique Жино Лориа, а изложение этих работ - во французском издании tEncyclopedle des Sciences mathematlques в статье Люсьена Леви, Sur les fondements geometrlques de la Statlque.

26. Частные случаи приведения. Может случиться, в частности, что система векторов, не эквивалентная нулю, эквивалентна лишь одной паре или только одному вектору.

Система эквивалентна только паре, если ее главный вектор равен нулю.

Для того чтобы система была эквивалентна одному вектору, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор был отличен от

Если точка О взята на центральной оса DD в точке О, то главный вектор OR и главный момент Og будут лежать на этой центральной оси. В этом случае плоскость пары (Р. -Р) будет перпендикулярна к главному вектору Р и ее момент будет минимальным (рис. 23).

25. Винт. Английский ученый Болл называет предыдущую систему, образованную вектором OR (рис. 23) и парой, плоскость которой перпендикулярна к этому вектору, винтом.

Точкой приложения, линией действия, направлением и модулем винта называют точку приложения, линию действия, направление и модуль вектора OR. Параметр / винта есть отношение величины момента g пары к модулю вектора R; это отношение считается положительным или отрицательным в зависимости от того, будут ли векторы ОR и Оg иметь одинаковое или противоположное направление. Принимая эти термины, мы видим, что произвольная система векторов ff эквивалентна винту, линия действия которого со-

впадает с центральной осью, а модуль и напра-, вление совпадают с модулем-и направлением

О jfP главного вектора. Параметр этого винта равен

величине



LXMYNZO

LXMYNZ = 0

2°. X=Y = Z=:0. 3°. X=Y = Z=0,

Система эквивалентна паре.

Система эквивалентна нулю.

28. Взаимный момент системы скользящих векторов. Используя обозначения п. 18, назовем взаимным моментом двух систем векторов (S) и (5о) величину

LXo + MYo + NZo + LoX+MoY+NoZ, (1)

значение которой не зависит от выбора осей координат. В самом деле, мы можем эту величину представить в виде

iL + Lo) (X + Хо) + (M + M,)(Y+ Yo) + {N + N,)(Z+ Zo) -

-{LX+MY + NZ)~- (LqXo + MYo + NZo),

где три члена будут инвариантами либо полной системы (5)--(5о), либо одной из систем (5) или (5о). Согласно истолкованию этих инвариантов, данному в п. 21, взаимный момент систем (5) и (5о) равен ушестеренной сумме объемов тетраэдров, полученных сочетанием всех векторов системы (5) со всеми векторами системы (5о).

Пусть в - кратчайшее расстояние между центральными осями обеих систем и а - угол между ними, R и Rq - их главные векторы, лежащие на этих центральных осях, а и - соответствующие минимальные моменты. Тогда взаимный момент обеих систем равен

± RRb sin а+ (gRf, + goR) cos а, (2)

нуля, а минимальный момент g равнялся нулю, т. е. чтобы главный момент относительно произвольной точки пространства был перпендикулярен направлению главного вектора. В самом деле, для системы, состоящей из одного вектора, центральная ось совпадает с этим вектором и минимальный момент равен нулю. Наоборот, если минимальный момент обращается в нуль, то система эквивалентна одному вектору, лежащему на центральной оси, так как пара с минимальным моментом, которую в общем случае необходимо добавить к этому вектору, в рассматриваемом случае обраи1,ается в нуль. Здесь /=0.

27. Резюме. Резюмируя изложенное, получаем следующую таблицу:

Система эквивалентна двум векторам, не лежащим в одной плоскости. Она эквивалентна также одному вектору, лежащему на центральной оси, и одной паре, плоскость которой .перпендикулярна этой оси, т. е. винту.

Система эквивалентна двум векторам, лежащим в одной плоскости, причем:

1° I у2 I 22->о 1" эквивалентна одному вектору, \ лежащему на центральной оси.



где первый член есть взаимный момент векторов R и R. Эту формулу легко вывести, если за ось Ог принять одну из центральных осей (п. 17) и посмотреть, во что при этом обратится выражение,(I).

29. Приложение общих теорем к случаю параллельных скользящих векторов. Если все векторы некоторой системы параллельиы, то эта система эквивалентна либо одному вектору, либо одной паре; либо нулю. В самом деле, так как моменты всех векторов относительно какой-нибудь точки направлены перпендикулярно общему направлению этих векторов, то и главный момент, если он отличен от нуля, будет также перпендикулярен этому направлению. Главный вектор, если он отличен от нуля, параллелен этому направлению. Следовательно, инвариант LX-\- MY -{-NZ обращается в нуль.

Пусть а, р. If-направляющие косинусы какой-нибудь полупрямой, параллельной общему направлению векторов. Обозначим

через Pj, Р2.....Р„ величины этих векторов, причем эти величины

будем считать положительными, если направления соответствующих векторов совпадают с направлением выбранной полупрямой, и отрицательными- в противном случае. Тогда, если х,, у, - координаты какой-нибудь точки приложения вектора Р; Х, F., Z. - проекции этого вектора на оси координат, которые мы считаем прямоугольными, и L, Mj, - его моменты относительно этих осей, то

Л, = аР,. F, = pP„ Z, = fP,;

Отсюда, полагая

p=p,+p,+ ... +p„ = 2.

где сумма распространена на все векторы системы, получим следующие выражения для проекций главного вектора и главного момента:

Х=аР, F=:pP, Z = iP;

Непосредственно убеждаемся в справедливости соотношения

LXMYNZ = 0.

Следовательно:

если РО, то система эквивалентна одному вектору; если-Р;=0, L-j-M + N > О, то система эквивалентна одной раре;

если Р = 0, L=i M = N0, то система эквивалентна нулю.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 [9] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0075