Главная Промышленная автоматика.

откуда

-0 --0

dy dz ,

=а, -TTb,

dt -"" dt

где a и b - проекции начальной скорости на оси О у и Ог; но так как эта скорость равна нулю или параллельна оси Ох, то а я b равны нулю. А если производные величин у а г равны нулю, то эти величины постоянны,

y=yQ, Z = Zq

я точка перемещается по линии, параллельной оси Ох.

2°. Центральная сила. Если точка, выходящая из Mq, находится под действием силы, направление которой все время проходит через неподвижный центр- О, и если начальная скорость Vq равна нулю или направлена по прямой OMq, то точка останется на прямой ОМ. Этот результат также очевиден из соображений симметрии. Его можно получить аналитически, приняв О за начало и заметив, что на основании теоремы, изложенной в п. 203 для проекций движения на все три координатные плоскости, имеет место закон площадей. Имеем, например,

dt У dt

Примечание. Когда для точки, находящейся под действием силы, не имеющей силовой функции, имеется некоторое положение равновесия, то для того, чтобы узнать, устойчиво оно или нет, надо исследовать движение, которое получит эта точка, если ее удалить на бесконечно малое расстояние от положения равновесия и сообщить ей бесконечно малую скорость.

II. Прямолинейное движение

209. Некоторые случаи, когда движение точки прямолинейно.

1°. Силы постоянного направления. Если движущаяся точка, выходящая из некоторого положения Mq, находится под действием силы постоянного направления и если ее начальная скорость Vq равна нулю или параллельна этому направлению, то траекторией будет прямая D, проведенная из Mq параллельно заданному направлению. Это свойство можно рассматривать как очевидное из соображений симметрии, так как нет никакой причины, которая заставила бы точку сойти с этой прямой D в ту или другую сторону. Можно это свойство установить также аналитически. Оси координат можно всегда выбрать так, чтобы сила, была параллельна оси Ох. Тогда проекции К и Z силы на оси Оу и Ог будут равны нулю и поэтому



dx . / dx .\

так как алгебраическое значение скорости v есть Это-дифференциальное уравнение второго порядка, позволяющее определить х в функции t. Общий интеграл содержит две произвольные постоянные:

x = f{t, с, с). Эти постоянные определяются из начальных условий: Xo = f{t„ с, с), го = /;(о. с, с).

где с - момент скорости относительно оси Oz. Но в начальный момент скорость либо равна нулю, либо проходит через точку О. Ее момент относительно оси Oz равен нулю и С - 0. Следовательно

dx dy

и, интегрируя от начального момента времени до момента t, получим

Хо Уо Xq Уо

Точно так же, проектируя на плоскость yOz, найдем

Уо. го *

Следовательно, точка остается на прямой ОМ.

3°. Учет сопротивления среды. Предыдущие теоремы останутся справедливыми и в том случае, если присоединить к рассмотренным силам силу сопротивления среды, направленную в сторону, противоположную скорости. Это по-прежнему вытекает из симметрии и может быть установлено аналитически в качестве упражнения.

4°. Точка, вынужденная двигаться по прямой. Можно, наконец, представить себе точку, находящуюся под действием заданных сил и описывающую прямую,, например, точку, находящуюся в прямолинейной трубке бесконечно малого поперечного сечения. Тогда со стороны трубки возникает сила реакции, но равнодействующая всех приложенных к точке сил будет направлена по прямой, так как она равна произведению массы на ускорение.

210. Уравнение прямолинейного движения. Простые случаи интегрируемости. Возьмем частный случай, когда движение прямолинейно, и примем прямую, описываемую точкой, за ось Ох. Уравнение движения будет

dx .1,

Наиболее общим случаем будет тот, когда X одновременно зависит от X, V ч t. Ъ этом случае



и, интегрируя, найдем

Это уравнение представляет собой не что иное, как уравнение кинетической энергии, примененное к рассматриваемому частному случаю. Для определения постоянной положим х - Хд, что даст для h значение mvl. Если выполнить вышеуказанную квадратуру, то получатся уравнения вида

(#)=tw- §-=±vm

Здесь нет никакой неопределенности в выборе знака, так как при

JC = Xq должно быть - Vq. Следовзтельно, перед радикалом

нужно ставить тот знак, какой имеет %. Если Vq равно нулю, то движение будет происходить в сторону силы, что опять определяет знак радикала. Тогда можно написать

dx t С dx

at - - , t - = / -г •

Это уравнение, разрешенное относительно х, выражает закон расстояния; непосредственно оно выражает время, необходимое для перемещения на данное расстояние. Мы исследуем его более подробно дальше (п. 211, пример 6), после того, как рассмотрим несколько простых частных случаев.

2°. Сила зависит только от скорости. Допустим теперь, что X есть функция только скорости v. Написав

dv / ч mdv

dt TV/> (t,)

Может случиться, что аналитическое выражение силы изменяется £ зависимости от положения точки или направления скорости. Пример такого рода встретится в упражнениии 4 п. 211.

Интегрирование дифференциального уравнения (1) приводится к квадратурам, когда X содержит только одну из величин х, v и f.

1°. Сила зависит только от положения. Пусть сначала

Умножая обе части на 2-, получим

„ d-x. dx п , . dx 2" 3-==2PW





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 [89] 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0038