Главная Промышленная автоматика.

txtn

лении AM, есть -пц/г, а элементарная работа равна -dr. Наконец,.

если мы обозначим через г расстояние МА, то алгебраическое значение отталкивающей силы F, пропорциональной расстоянию, есть пцл-г, а ее элементарная работа равна пц>.гс1г. По теореме кинетической энерги»

дифференциал d-mv равен элементарной работе равнодействующей приложенных к точке сил, т. е. сумме работ составляющих сил, и мы имеем

,.-2 =-mgdz-dr + mirdr.

Правая часть этого равенства является полным дифференциалом, так что существует силовая функция; в этом можно было убедиться и заранее, на основании теорем, установленных в главе IV. Следовательно, интегрируя и деля на т, получим


Рис. 131.

Силовая функция здесь по-прежнему однозначна и скорость принимает оди-наковые значения каждый раз, когда движущаяся точка проходит через-одну и ту же поверхность уровня

- - const.

Это - поверхности шестого порядка. Они приводятся к сферам, если fi равно нулю, т. е. если отбрасывается притягивающий центр А.

207. Замечание к интегралу кинетической энергии. Интеграл кинетической энергии

=.t/(x, у, z) + h

показывает, что движущаяся точка не может выйти из области пространства, в которой величина U(x, у, z)-{-h положительна, так как левая часть равенства существенно положительна. Когда эта область не содержит всего пространства, она, вообще говоря, ограничена поверхностью уровня, имеющей уравнение

U{x, у, 2) + Л = 0.

Вид этой поверхности зависит от постоянной кинетической энергии, т. е. от начального положения и от величины начальной скорости, но не от ее направления. В упражнениях будет показано, какими будут эти поверхности в рассмотренных выше примерах.

Это очевидное замечание, важные приложения которого можно найти в трудах Хилла (Acta mathematica, т. VIII), Болена, (там же,, т. X), Дарвина (там же, т. XXI, и Mathem. Annalen, т. LI), приводит непосредственно к теореме Лежен-Дирихле об устойчивости, равновесия.



дх ду дг

Положения равновесия точки найдутся, если приравнять нулю X, Y, Z, т. е. если искать максимумы и минимумы функции U. Если в заданном положении О точки функция U имеет максимум, то соответствующее равновесие устойчиво. Примем это положение О за начало и предположим, что функция U обращается в нуль в точке О, что всегда возможно, так как эта функция определяется с точностью до аддитивной постоянной, которою всегда можно распорядиться так, чтобы функция U обращалась в нуль в заданной точке. Чтобы точнее уяснить понятие максимума, опишем вокруг точки О выпуклую поверхность S, например, сферу или куб с центром О, размеры которых достаточно малы для того, чтобы внутри поверхности 5 и на ней самой функция U была отрицательна и, за исключением начала О, отлична от нуля.

Выбрав поверхность 5 сколь угодно малой, покажем, что существуют два положительных числа е и т), обладающих следующими свойствами: поместив движущуюся точку в начальном положении на расстоянии от О, меньшем чем е, и сообщив ей начальную скорость, меньшую чем т), мы получим такое движение точки, при котором эта движущаяся точка останется внутри поверхности S. В самом деле, функция U на поверхности 5 отрицательна и отлична от нуля; следовательно, можно указать достаточно малое положительное число р такое, что на поверхности 5 постоянно будет

- и>р, t/+p<0.

Поместим теперь точку М в начальное положение Mq(Xq, Уо, Zq) внутри поверхности 5 и сообщим ей начальную скорость v. Для движения, которое точка начнет совершать, на основании теоремы кинетической энергии будет

iSl = (y+(-(y.), (1)

где Uq есть значение функции U в точке Mq, причем отрицательное. Определим начальное положение и скорость условием

-~-Uq<p, (2)

для чего достаточно, например, принять

2 2 • -о<-2 •

208. Устойчивость равновесия свободной материальной точки. Доказательство Лежен-Дирихле. Рассмотрим свободную точку М{х, у, Z), находящуюся под действием сил, равнодействующая которых {X, Y, Z) имеет силовую функцию U (х, у, г):



которое показывает, что движущаяся точка не может выйти за-поверхность 5. В самом деле, если точка достигнет поверхности S, то и-\-р станет отрицательным и кинетическая энергия, являющаяся существенно положительной величиной, станет меньше отрицательной величины, что является абсурдом. Теорема таким образом доказана. Например, если точка притягивается центром О пропорционально расстоянию, то О является положением устойчивого равновесия (п. 90).

В полученном движении можно указать верхний предел для скорости, так как поскольку U отрицательно, то по формуле (3) mvl2

меньше чем р w. v меньше чем YPl"-

Обратное предложение. Вероятно, что обратное предложение

также справедливо. Если в точке, представляющей изолированное

ди ди ди положение равновесия, производные -д. -jy, обращаются

в нуль, но функция и не имеет максимума, то соответствующее равновесие будет неустойчивым. Это предложение для широкого класса случаев доказано Ляпуновым (Journal de Mathematiques, т. Ill, 1897, стр. 81)*) и Адамаром (там же, стр. 364). Но если рассматриваемое положение равновесия не является изолированным, то может случиться, что равновесие будет устойчивым, но функция if не будет максимумом. Это показал Пенлеве (Comptes Rendus, т. 12 1904), который привел пример:

U=lm(xsm- - y - zy

В этом примере начало координат является положением устойчивого-равновесия, но функция U не имеет максимума.

*) Русский перевод этой статьи А. М. Ляпунова приложен ко второму и третьему изданиям (Гостехиздат, 1935 г. и 1950 г.) его докторской дис сертации «Общая задача об устойчивости движения». См. также А. М. Ляпунов, Сочинения, т. II, Изд-во АН СССР, 1956. {Прим. перев.у

Первое ИЗ этих неравенств определяет для Vq верхний предел и, равный YpI" далее, так как функция u непрерывна и обращается в нуль в начале, то существует такое достаточно малое положительное число е, что если расстояние OMq меньше чем е, то --Uq будет меньше чем /7/2. Тогда, придавая движущейся точке начальное положение, находящееся от точки О на расстоянии, меньшем чем е, и сообщая ей начальную скорость, меньшую чем Yp/ni, мы удовлетворим неравенству (2) и вследствие этого, на основании теоремы кинетической энергии (1), удовлетворим также неравенству

<и-р. (3)





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 [88] 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0039