Главная Промышленная автоматика.

*) В оригинале вместо названия «кинетическая энергия» автор пользуется устаревшим и вышедшим теперь из употребления названием гживая сила», причем живой силой автор называет величину mv. (Прим. перев.)

на dx, второе на dy и третье на dz. Получим

m(~dx-dy-{-dz) = Xdx-{-Ydy + Zdz. Замечая, что квадрат скорости равен

можно это уравнение написать следующим образом:

d~- = Xdx+Ydy + Zdz. (1)

Произведение -g- mv половины массы на квадрат скорости

называется кинетической энергией *). Предыдущее уравнение может быть поэтому выражено следующим образом:

Дифференциал кинетической энергии за промежуток времени dt равен элементарной работе равнодействующей сил, действующих на точку, за тот же промежуток времени. Действительно, правая часть

Xdx-i-Ydy-\-Zdz

уравнения является элементарной работой силы X, Y, Z на действительном перемещении dx, dy, dz, которое совершает точка за промежуток времени dt. Работу равнодействующей X, Y, Z можно, как мы видели (п. 77), заменить суммой работ отдельных сил, приложенных к движущейся точке.

Уравнение (1) вытекает также сразу из первого из естественных уравнений движения

Умножая на ds и заменяя через v, получим уравнение

d- = Ftds,

в котором правая часть равна элементарной работе силы F на перемещении ds.

Если уравнение (1) проинтегрировать от момента ДО момента t, то, обозначая через Vq скорость в момент о- получим

---2== J Xdx+Ydy + Zdz, (2)

что выражает следующую теорему:



о

- = t/(x, у. z)-U{Xq, Уо, Zq), или

= (/(х, у, z) + h.

где h обозначает произвольную постоянную --U {Xq, Уо, z; эта

постоянная называется постоянной кинетической энергии. Согласно этому уравнению скорость движущейся точки становится тою же самою, что и раньше, каждый раз, когда функция U принимает прежнее значение. Если U является однозначной функцией от х, у, z, то можно говорить, что скорость движущейся точки принимает одинаковые значения, когда она возвращается на одну и ту же поверхность уровня U{x, у, г) = const. Когда функция U многозначна, как, например, U {х, у, г) -arctg, то скорость не обязательно принимает одинаковые значения, когда точка возвращается на одну и ту же поверхность уровня, так как на определенной поверхности уровня функция и (х, у, г), а вследствие этого и полная работа принимают различные значения вдоль пути (см. п. 82).

20.6. Примеры. Г. Рассмотрим движущуюся в пустоте совершенно свободную тяжелую точку. Если ось Ог направить вертикально вверх, то так как единственной силой, приложенной к точке, является вес, проекции кото-рогосуть

Изменение кинетической энергии точки за произвольный промежуток времени равно полной работе сил, приложенных к точке, за тот же промежуток времени.

С ТОЧКИ зрения оценки полной работы следует, как мы показали В главе IV, различать три случая:

Г. В наиболее общем случае, когда X, Y, Z зависят от х, у, Z, х, у, г, t, для вычисления полной работы надо знать выражения координат X, у, z в функции t, т. е. надо знать движение.

2°. В случае, когда X, Y, Z зависят только от х, у, z, для вычисления полной работы достаточно знать траекторию движущейся точки между положением Жц, которое она занимает в момент t, и положением Ж, занимаемым в момент t.

3°. Наконец, если равнодействующая X, Y, Z зависит только от положения движущейся точки и имеет силовую функцию U (х, у, z), т. е

Xdx-{-YdyZdz = dU{x. у, z),

то можно вычислить полную работу, зная только положения Mq и Л1. В этом случае теорема кинетической энергии приводит к первому интегралу. Действительно, выполняя интегрирование в правой части уравнения (2), получим



mv тх, V - Vq d-=--dr, -2-

\г Го1

. = 2(- + л).

Поверхностями уровня являются сферы (л - = const; скорость принимает одинаковые численные значения на одинаковых расстояниях от притягивающего центра О.

Вообще, если точка М находится под действием центральной силы, являющейся функцией от г, и алгебраическое значение этой силы, отсчитываемое в направлении ОМ, есть ср (/), то

/и1)2 mv mvl Г d-j- = f(r)dr, -2---= J <f{r)dr.

3°. Рассмотрим тяжелую точку М, притягиваемую неподвижным центром А по закону обратной пропорциональности квадрату расстояния и отталкиваемую неподвижным центром А пропорционально расстоянию (рис. 131). Направим ось Oz вертикально вверх, так что элементарная работа веса равна - mg dz. Если мы обозначим через г расстояние AM, то алгебраическое значение притягивающей силы F, отсчитываемой в направ-

то по теореме кинетической энергии получаем уравнение

d = - mg dz,

правая часть которого является полным дифференциалом, что показывает, как это уже отмечалось много раз, что вес имеет силовую функцию. Интегрируя, получим

-2-- = -g(-o). vi2{-gz-\-h).

Это уравнение показывает, что скорость принимает одно и то же численное значение всякий раз, когда точка находится на одной и той же высоте, т. е. возвращается на ту же поверхность уровня.

Вообще, если точка находится под действием вертикальной силы, являющейся функцией от Z, то

X = Q, К=0, 2 = <р(г),

откуда

/и1)2 mv mvl Г d- = <{(z)dz, ---= j ,fiz)dz.

Поверхностями уровня по-прежнему являются горизонтальные плоскости. Во всех этих движениях траектории являются плоскими кривыми (п. 202, пример).

2°. Рассмотрим точку М, притягиваемую неподвижным центром О по закону обратной пропорциональности квадрату расстояния. Притягивающая сила имеет вид /Wfi. -, где (л - постоянная, а г-расстояние ОМ. Алгебраическое значение этой силы, отсчитываемой в направлении ОМ, равно - /njj. -*

и, как мы видели в п. 84, элементарная работа этой силы равна - dr.

Следовательно, по теореме кинетической энергии имеем





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 [87] 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0038