Главная Промышленная автоматика.

прямую, параллельную Y = 0. Следовательно,

равнодействующей dy

силе F, имеем Х=0\

d£ dt

Ady - Bdx = 0, Ау - Вх = С,

что является уравнением плоскости, параллельной оси Oz. Эта плоскость, в которой происходит движение, определяется начальными условиями; она является плоскостью, проведенной через начальную скорость параллельно постоянному направлению силы.

203. Теорема о моменте количества движения. Закон площадей. Из уравнений движения можно вывести теорему, аналогичную предыдущей, для момента количества движения. Два уравнения

путем преобразований приводятся к одному

- ут

dx dt

= xY - yX.

которое можно написать так:


т. е. производная по времена от момента количества движения относительно какой-нибудь оси {оси Oz) равна моменту равнодействующей всех сил, приложенных к точке, относительно той же оси.

Из этой теоремы получается первый интеграл уравнений движения в случае, когда xY - уХ=0, т. е. когда равнодействующая сил, приложенных к материальной точке, находится все время в одной плоскости с осью Oz. Этот интеграл будет

dt dt

Он имеет очень простую геометриче- Рис. 129.

скую интерпретацию, а именно:

пусть (рис. 129) Р - проекция движущейся точки М на плоскость ху и Pq - начальное положение этой проекции. Рассмотрим сектор, ограниченный проекцией траектории и двумя радиусами OPq и ОР. Обозначая через 5 площадь этого сектора, отсчитываемую в направлении положительного вращения вокруг оси Oz, имеем

dS={xdy-

ydx).



Следовательно, предыдущее уравнение принимает вид откуда, интегрируя, находим

2f = С,

S = ~C(t-t„).

Другими словами, площадь S пропорциональна времени, в течение которого она была описана. В этом случае говорят, что для проекции движения на плоскость ху справедлива теорема площадей.

Постоянная площадей С, входящая в предыдущую формулу, равна отношению удвоенной площади, описанной радиусом-вектором ОР, к затраченному на это времени. Она определяется начальными условиями, а именно: она равна значению, принимаемому в начале движения величиной х---ЧГ " *"*иУ начальной скорости

относительно оси Oz.

Наоборот, если теорема площадей применима к проекции движения на плоскость хОу относительно точки О, то сила находится

в одной плоскости с осью Oz, так как уравнение х~ - у - С

после дифференцирования принимает вид

dy dx

откуда

xY - yX=0.

Пример. Центральные силы. Допустим, что равнодействующая F сил, приложенных к точке, является центральной, т. е. ее направление все время проходит через неподвижную точку О. Если эту точку принять за начало, то момент F относительно каждой из трех координатных осей будет равен нулю и теорема площадей будет применима к проекциям движения на каждую из трех координатных плоскостей. В этом случае траектория будет лежать в плоскости, проходящей через центр сил. В самом деле, имеем три уравнения:

dt У dt

dz dy .

У-ш--ж-

dx dz о

Умножая их на х, у, г м складывая, найдем

Ах-\-Ву-Сг = ,

т. е. уравнение плоскости, проходящей через точку О. Эта плоскость определяется начальной скоростью и точкой О.



204. Геометрическая интерпретация двух предыдущих теорем. Проведем через точку О вектор OR, равный и параллельный равнодействующей всех сил, приложенных к точке, и вектор OR, равный и параллельный ко-личесэву движения точки (рис. 130). Точка R имеет координаты:

dx „ dy dz

а = /и-гг. Р = "-гг. •i = m

Уравнения движения, выражающие теорему проекций количества движения на каждую из координатных осей, имеют вид


Рис. 130.

и обозначают, что скорость V геометрической точки R в каждый момент времени равна и параллельна силе R.

Точно так же, пусть 0G - момент равнодействующей сил, приложенных к точке М, относительно точки О и пусть 0G- момент количества движения относительно той же точки. Координаты X, (л, v точки G выражаются равенствами

t = /и . = /и = /и

dx Z-n--X

dt rfy dt

a проекции вектора OG суть

L = yZ - zY, MzX - xZ, N=xY-yX.

И мы приходим к уравнению = N; точно так же получаются уравнения

dl dt

d dt

выражающие, что т.очка G обладает в каждый момент времени скоростью V", равной и параллельной вектору 0G. В. этом заключается аналогия между обеими предыдущими теоремами.

Например, если равнодействующая сил, действующих на движущуюся точку, проходит через неподвижную точку О, то величины X, fi, v будут постоянными и отрезок 0G во время движения будет оставаться неподвижным. Мы видели, что в этом случае траектория будет плоской; она будет находиться в плоскости, перпендикулярной к 0G.

205. Теорема кинетической энергии. Возьмем уравнения движения

d"-x „ d-у „ dz у.

и сложим их почленно, умножив предварительно первое уравнение





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 [86] 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037