Главная Промышленная автоматика.

С flit, x, у, г, x, у, г), C" = U{t, x. у, z, х, у, г),

CM=.f{t. x. у. z, х, у, z)

являются независимыми, когда из них нельзя исключить все величины x, у, Z, х, у, г. Если такое исключение возможно, то оно приведет к соотношению между постоянными С, С".....С", которое, очевидно, не может содержать независимую переменную являющуюся произвольной. Отсюда следует, что число независимых первых интегралов, которые можно найти, равно шести, так как если V больше 6, то всегда можно исключить шесть величин х, у, г, х, у. г.

Если известны v первых интегралов (6), то в уравнениях (1) можно уменьшить на v единиц число неизвестных. Действительно, из уравнений (6) можно выразить v этих неизвестных в функции 6 - V остальных неизвестных и времени t.

Например, шесть уравнений (4), полученных после разрешения общих интегралов уравнений движения относительно произвольных постоянных, образуют шесть независимых первых интегралов.

ную с и имеющее место вследствие уравнений движения, каковы бы ни были начальные условия. Можно всегда представить это соотношение, разрешенным относительно С и написать его в виде

С = /( x, у, z, х, у, г). (5)

Нетрудно непосредственно проверить, что соотношение такого вида является первым интегралом. Дифференцируя по t, получим

о. - г О- у L d"" 1 I - n

It dx djy dF dldfWd df

или, заменяя вторые производные от х, у, z их значениями, взятыми из уравнений движения, получим

Это последнее уравнение содержит только величины t, х, у, z, х, у, z и так как оно должно иметь место, каковы бы ни были начальные условия, т. е. каковы бы ни были значения, приписываемые этим величинам, то оно должно удовлетворяться тождественно.

Практическая полезность какого-либо первого интеграла с точки зрения интегрирования уравнений (1) заключается в том, что он позволяет понизить на одну единицу число неизвестных. В самом деле, соотношение (5) позволяет выразить одну из неизвестных х, у, г, х, у, г как функцию остальных неизвестных и t.

Несколько первых интегралов



Наоборот, если известны шесть независимых первых интегралов вида (6), где целое число v равно шести, то из этих уравнений после разрешения относительно х, у, г, х, у, z получится общий интеграл уравнений движения.

Аналогичные рассуждения применимы, как мы увидим дальше, и к движению точки по кривой или по поверхности.

По вопросам анализа, с которыми мы здесь столкнулись, мы отсылаем к нашему Cours dAnalyse й IEcole Cenfrale, гл. XXII.

200. Естественные уравнения (Эйлер). Возьмем на траектории начало О дуг. Движение по этой кривой определено, если дуга ОМ - s является известной функцией времени. Проведем касательную Ж Г в сторону положительных дуг (рис. 128). Условимся считать скорость положительной, если движение происходит в сторону МТ, и отрицательной, если оно происходит в обратную сторону. Тогда скорость по величине и знаку будет


Рис. 128.

Пусть У-ускорение движущейся точки. Как известно, его проекции на касательную и главную нормаль выражаются соответственно формулами (п. 41):

, V-

, dv ds

t - lu -

dt"-

a проекция на бинормаль равна нулю. Так как вектор силы равен вектору ускорения, умноженному на массу, то обозначая через F, f „, Ff, проекции силы F на касательную, главную нормаль и бинормаль, получим:

d"-s . mv р

о dv

т

Эти три уравнения образуют систему, эквивалентную трем уравнениям движения. Так как F„ всегда положительно, а всегда равно нулю, то сила всегда лежит в соприкасающейся плоскости траектории и направлена в сторону вогнутости последней.

Если сила все время нормальна к траектории, то Fj = 0, скорость постоянна и сила обратно пропорциональна радиусу кривизны.

Если сила все время касательна к траектории, то F„ = /и - = О

и так как v не равно нулю, то р равно бесконечности, т. е. траектория есть прямая линия.



Можно установить отмеченные уже Маклореном интересные аналогии между этими уравнениями и уравнениями равновесия нити. Мёбиус указал большое число таких аналогий в своей Статике, так же как и Оссиан Бонне в томе IX Journal de Mathematiques и П. Серре в своей Theorie nouvelle des lignes a double courbure (Mallet-Ba-chelier, 1860). (См. упражнения.)

Мы переходим теперь к выводу теорем, позволяющих во многих случаях найти первые интегралы.

201. Количество движения. Количеством движения точки М называют вектор MQ, который направлен по линии скорости в ту же сторону, что скорость, и длина которого равна произведению скорости на массу: mV. Так как проекции скорости на оси равны

то проекции количества движения будут

dx dy dz ,

ЧГ "dt ""чг-Моменты количества движения относительно осей координат равны

так что момент количества движения относительно точки О есть вектор 00, проекции которого равны только что написанным величинам,

202. Теорема о проекции количества движения. Первое уравнение движения может быть написано так:

Так как ось х произвольна, то это уравнение выражает следующее: Производная по времени от проекции количества движения на какую-нибудь ось равна проекции на ту же ось равнодействующей всех сил, приложенных к движущейся точке.

В частности, если сумма проекций сил на ось все время равна нулю, то по этой теореме получается первый интеграл. В самом деле, приняв эту ось за ось Ох, имеем

d ( dx\ г, dx .

где значение постоянной А равно проекции на ось Ох начального количества движения. Интегрируя вторично, получим

mx = At + A,

т. е. движение проекции точки на ось Ох является равномерным.

Пример. Параллельные силы. Если сила F параллельна определенному направлению, то траектория будет лежать в плоскости, параллельной этому направлению. В самом, деле, приняв за ось Ох





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 [85] 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0084