Главная Промышленная автоматика.

так как значение реакции, отсчитываемой по главной нормали, равно - Nds, а отсчитываемой по касательной Mt в сторону возрастания дуг равно - fN ds. Исключая N, получим

dT fds

так как р=--, где а - угол между касательной Mt и фиксированной

касательной TqMq. Следовательно, интегрируя от точки Ло до точки и обозначая через в угол между конечными касательными, или равный ему угол АОВ между конечными нормалями, получим

In 7-1-In Го =/е, Г1=Го/1

Таково верхнее значение, больше , которого не должна быть величина Т,, чтобы осуществлялось равновесие. Если веревка обвивается несколько раз вокруг цилиндра, то угол в может быть больше чем 27с. Эта формула показывает, что малым натяжением 7"о можно уравновесить значительное натяжение Ту, полагая 6 достаточно большим. (Пуассон, Traite de Mecanique, § 303.)

Интересные упражнения можно найти в сочинении английского ученого Джеллета.

196. Трение скольжения при движении. В случае движения трение будет вполне определенным. Допустим, что движущееся твердое тело, ограниченное поверхностью S, соприкасается с телом S в точке А. Если имеется трение, то реакция тела S на тело 5 распадается на две силы: нормальную N, которая называется нормальной реакцией, и касательную F, которая является силой трения и подчиняется трем следующим законам:

1°. Сила трения направлена в сторону, противоположную относительной скорости материальной точки А по отношению к 5.

2°. Она не зависит от величины этой скорости.

3°. Она пропорциональна нормальной реакции: F ~ fN; коэффициент / является коэффициентом трения в начале движения.

Согласно опытам Гирна эти законы применимы главным образом в случае непосредственного трения (т. е. когда трущиеся поверхности сухие). Они должны быть изменены, если поверхности разделены смазывающим веществом; в этом случае отношение F/N зависит от скорости и от N. (См. Comptes Rendus, т. XCIX, стр. 953.>

196. Трение качения в начале и во время движения. Выше (п. 188) мы определили в общем виде пары, представляющие сопротивление качению и верчению. Возьмем простой случай цилиндра. Если цилиндр может катиться и скользить по плоскости, то при вычислениях можно следующим образом учесть деформацию тела и колебания молекул. Пренебрежем протяженностью деформации и допустим, что цилиндр касается плоскости по образующей А. Допустим, кроме того, что на цилиндр действуют силы, лежащие в плоскости поперечного сёченйя, которую мы примем за плоскость чер-



тежа. Приведем эти силы к точке А. Тогда мы получим Одну силу AR, приложенную в точке цилиндра, совпадающей с точкой А, я одну пару О, вектор момента которой перпендикулярен плоскости чертежа. Разложим AR (рис. 127) на две силы: одну АР, нормальную к плоскости, и другую AQ, параллельную плоскости. Сила Q вызывает скольжение цилиндра; пара G вращает его вокруг образующей, по которой происходит касание, т. е. вызывает качение цилиндра по плоскости,так как при качении эта образующая является мгновенной осью вращения.

Допустим сначала, что пара G равна нулю. Тогда может возникнуть только скольжение; для того чтобы его не было, необходимо и достаточно, чтобы

Q<Pf.

где /-коэффициент трения скольжения. Допустим, что это условие выполнено, и восстановим пару AG, вектор момента которой нормален к плоскости фигуры. Если нет никакого сопротивления

качению, то эта пара, как бы мала она ни была, заставит тело катиться. Опыт, однако, показывает, что это не будет так и что качения не будет, пока момент G пары меньше некоторого предела:


0<Р8,

где Р, как и выше, обозначает нормальную составляющую силы R, а 8 - линейный коэффициент, называемый коэ-ффициентом трения при качении. Согласно Кулону и Морену этот коэффициент 8 не зависит от силы R и радиуса кривизны поперечного сечения катящегося цилиндра, по крайней мере в некоторых пределах.

Если этот коэффициент 8 известен, то условиями равновесия цилиндра на плоскости будут уравнения (1) и (2), из которых одно выражает, что нет скольжения, а другое, что нет качения. В этом случае плоскость разовьет реакцию, состоящую из одной силы R, равной и противоположной силе R, и пары G, равной и противоположной паре G. Пара G возникает вследствие того, что касание имеет в действительности конечную протяженность возле точки А и при приведении сил реакций плоскости к точке А получится сила и пара. Эта пара G есть пара трения качения.

Полученный результат можно представить еще следующим образом: для того чтобы выразить, что имеется равновесие, нужно выразить, что непосредственно приложенные к цилиндру силы (котот



cos а - /sin а

3. Найти положение равновесия тяжелого однородного стержня АВ, концы которого скользят с трением по двум плоскостям, из которых одна горизонтальна, а другая вертикальна. (Необходимо, чтобы вертикаль центра тяжести проходила через общую часть обоих конусов вращения с вершинами в точках А V. В, оси которых нормальны к обеим плоскостям, а половины углов при вершинах равны углам трения.)

рые предполагаются лежащими в плоскости поперечного сечения) уравновешиваются нормальной силой N (равной и противоположной силе Р) и касательной силой F (равной и противоположной силе Q), приложенными в точке А, и парой с вектором момента G, параллельным образующим. Эти силы и пара удовлетворяют неравенствам

F < Nf, О < т.

Может случиться, что одно из условий (1) и (2) выполняется» а другое нет. Тогда в первое мгновение цилиндр катится без скольжения или скользит без качения. Если не выполняется ни одно из этих условий, то одновременно будет и скольжение и качение в том смысле, что элементарное перемещение цилиндра будет складываться из скольжения и вращения вокруг образующей, по которой происходит касание.

Если цилиндр уже находится в движении, то допускают, что при качении реакция плоскости, противодействующая качению, все время имеет максимальное значение, так что во время качения пара, представляющая трение качения, все время равна Nb, где N-нормальная составляющая реакции плоскости. Точно так же, если происходит скольжение, то касательная составляющая F реакции равна все время Nf (п. 195). Если одновременно происходят и качение и скольжение, то необходимо ввести совместно оба трения. В этом случае, обычно, пренебрегают трением качения.

197. Трение верчения. Можно допустить в наиболее простых случаях, что при равновесии момент пары трения верчения меньше чем zN, где s-линейный коэффициент, аналогичный 8. При движении этот момент равен zN. Для более подробного изучения трения верчения мы отсылаем к докторской диссертации Леоте (Париж, 1876).

УПРАЖНЕНИЯ

1. Тяжелое твердое тело положено на наклонную плоскость, наклон которой можно изменять. Показать, что скольжение будет происходить в том случае, если наклон плоскости равен углу трения или больше его.

2. Найти условие равновесия клинового пресса, принимая во внимание трение между обеими щеками клина и брусьями (п. 169, рис. 111); Обозначая через / коэффициент трения между обеими щеками и брусьями, получим в предельном случае, когда клин начинает скользить,

P=2R .sn" + /cosa





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 [83] 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0043