Главная Промышленная автоматика.

этих сил скольжения не будет, так как угол равнодействующей с нормалью меньше ср. вследствие чего (рис. 123)

</. Q<PI.

и касательная составляющая меньше, чем трение в начале движения.

Если рассматривать конус вращения С с осью AN, описанный прямой AD, образующей с AN угол ср, то для равновесия необхо-» димо и достаточно, чтобы силы имели равнодействующую, проходящую через А и лежащую внутри конуса С.

Из предыдущих рассуждений можно заключить также, что любая приложенная к телу сила, проходящая через точку А и образующая с нормалью угол, меньший чем ср, т. е. сила, лежащая внутри конуса С, уравновешивается реакцией тела S, так как эту силу можно разложить так, как мы только что указали.

2°. Несколько точек касания. Вообразим тело 5, покоящееся в точках Ау, А, А на нескольких телах Sy, Sg, .... -S,

с коэффициентами трения, равными соответственно fy, /2, .... fp

и с углами трения cpi, cpg.....срр. На тело S действуют заданные

силы Fj, F2, .. ., требуется определить условия равновесия.

Реакция тела S, на тело 5 есть сила приложенная в точке А, и образующая с нормалью N, угол, меньший угла трения ср,, т. е. эта сила лежит внутри конуса С, с вершиной А„ осью N, и углом ср,. Для того чтобы было равновесие, необходимо и достаточно, чтобы заданные силы F, .. ., F„ уравновешивались системой сил реакций Ry, R2, ..., Rp, удовлетворяющих предыдущим, условиям, т. е. чтобы система заданных сил была эквивалентна системе сил -Ry,

- 2.....-р. проходящих соответственно через точки Д, А2.....Ар

и лежащих внутри конусов С,, Cg, .. ., Ср. Эти последние силы все уравновешиваются реакциями поверхностей Sy, S2, • , Sp.

3°. Бесконечное число точек касания. Если тело S соприкасается с некоторыми телами по площадкам конечной протяженности, то необходимо и достаточно, чтобы система сил Fy, F2, ..., F была эквивалентна системе какого угодно числа сил, пересекающих площадки соприкосновения и образующих с нормалями в точках пересечения углы, меньшие соответствующих углов трения.

Примечание. Эти условия аналитически выражаются при помощи неравенств; поэтому в общем случае существует бесчисленное множество положений равновесия, образующих непрерывные множества.

192. Тяжелое тело, опирающееся на плоскость в нескольких точках и находящееся под действием только одной силы F. Для того чтобы тело было в равновесии, необходимо и достаточно:

1) чтобы сила F была направлена так, чтобы она прижимала тело к плоскости;

2) чтобы она составляла с нормалью угол, меньший угла трения <р;

3) чтобы она пересекала плоскость внутри ©норного многоугольника, определяемого, как в п. 112.



Эти условия необходимы. В самом деле, пусть, как и в п. 112, А,, Ai, Ар - точки касания тела с плоскостью и R,, R, Rp - реакции плоскости в этих различных точках. Если представить себе ось Oz, направленную нормально к плоскости в сторону, где находится тело, то все эти реакции будут направлены в ту же сторону от плоскости и будут составлять с осью Oz углы меньше ср. Так как совокупность сил R,, R, ..., Rp, F находится в равновесии, то реакции R,, R, Rp имеют равнодействующую, которая, очевидно, равна и прямо противоположна силе F. Но главный вектор реакций направлен, очевидно, в ту же сторону от плоскости, что и ось Oz, и образует с ней угол, меньший ср; следовательно, сила F направлена в противоположную сторону и тоже образует с осью Oz угол, меньший ср. Чтобы показать необходимость третьего условия, возьмем какую-нибудь сторону AiAji опорного многоугольника; сумма моментов сил R,, Ri, Rp и F относительно этой стороны должна равняться нулю; моменты всех сил Ry, Ri, Rp относительно этой стороны имеют одинаковые знаки; сила F должна иметь момент противоположного знака и должна поэтому пересекать плоскость в точке А, лежащей по отношению к AiAk по ту же сторону, что и остальные точки опоры. Так как это имеет место для каждой из сторон опорного многоугольника, то точка А находится внутри этого многоугольника.

Эти необходимые условия и достаточны. В самом деле, если они выполнены, то можно всегда разложить силу F на одинаково с ней направленные

параллельные силы, приложенные в точках опоры А,, Ai.....Ар. Все эти

составляющие уравновешиваются сопротивлением плоскости.

193. Лестница. Лестница АВ опирается на горизонтальный пол и вертикальную стену; допустим, что средняя линия лестницы лежит в плоскости, перпендикулярной полу и стене (рис. 125); эту плоскость мы примем за плоскость чертежа.

Обозначим через G центр тяжести лестницы и стоящего на ней в произвольном положении человека и найдем условия равновесия, предполагая, что коэффициенты трения в точках А и В равны одной и той же величине / и, следовательно, углы трения имеют одно и то же значение ср.

Если лестница образует со стеной угол р, меньший угла трения ср, то будет иметь место равновесие при любом положении точки G. В самом деле, всегда можно перенести вес Р, приложенный в точке G, вдоль его направления и разложить на две силы, из которых одна направлена по DB нормально к стене, а другая по линии DA, образующей с нормалью AN к полу угол DAN, меньший р и, следовательно, меньший угла трения; обе эти составляющие уравновешиваются.

Допустим теперь, что угол лестницы со стеной превышает угол трения ср. Так как вес и реакции стены и пола должны уравновешиваться, то эти три силы пересекаются в одной точке и лежат в плоскости чертежа. Проведем в точках А к В нормали 4Л и BN к стене и к полу и затем две прямые ARM и ALQ, образующие с AN угол ср, и две прямые BQ и BL, образующие с BN тоже угол ср. Эти четыре прямые, являющиеся прямыми пересечения плоскости чертежа с рассмотренными в общем случае конусами, образуют четырехугольник MQLR. Так как реакции стены и пола образуют с нормалями углы, меньшие ср, то их точка пересечения находится внутри четырехугольника MQLR. Так как линия действия силы Я


Рис. 125.



т. е. вертикаль, проведенная через точку G, должна проходить через упомянутую точку пересечения реакций стены и пола, то для того, чтобы было равновесие, необходимо, чтобы эта вертикаль пересекала плош,адь четырехугольника. Это условие будет тогда и достаточным, так как если вертикаль О пересекает этот четырехугольник, то, взяв точку D на этой вертикали внутри четырехугольника, мы можем перенести в нее вес Р и здесь разложить его на две силы, направленные по DA и DB, которые уравновесятся реакциями стены и пола.

Примем OA и ОВ за оси Ох и Оу и обозначим через а и 6 расстояния OA и ОВ. Ближайшая к стене точка М, будучи пересечением двух прямых , х - а\

ВМ (y-b = xf) и AM y = -iL j,

имеет абсциссу

являющуюся положительной величиной, так как, по предположению, а]Ъ больше чем /, ибо угол р больше ij>. Для равновесия .необходимо и достаточно, чтобы абсцисса S центра тяжести G была больше х. Пусть т - масса лестницы и /п - масса человека, стоящего на лестнице на расстоянии Ху от стены. Тогда, чтобы выразить, что % больше х, напишем:

откуда можно определить нижнюю границу для х. Чтобы при любом положении человека равновесие было устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы

>

a~bf

JNds

m + mi

Эта формула определяет верхнюю границу угла р, тангенс которого равен ajb.

194. Веревка, навернутая на поперечное сечение цилиндра. Пусть веревка положена на поперечное сечение выпуклого цилиндра, по которому она может скользить с трением. Коэффициент трения равен /. Касание происходит по дуге АВ (рис. 126); веревка натягивается на концах М(, и Ml натяжениями 7"о и Ту, причем 7"i>7"o. Найдем условия равновесия, предполагая, что веревка на- Рис. 126. ходится в состоянии, когда она готова

начать скользить в сторону АВ. Этим самым мы найдем верхний предел, больше которого не должно быть натяжение Т, чтобы осуществлялось равновесие. Пусть s - дуга AM, ds - элемент, находящийся в точке М, Nds-абсолютное значение нормальной реакции цилиндра, которая направлена наружу, fN ds - абсолютное значение касательной реакции, которая направлена в сторону МА. На основании естественных уравнений равновесия нити имеем

dT Т

--fNO, j-N=.0.






0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 [82] 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.004