Главная Промышленная автоматика.

тОт sin 8 + тОт sin 9 = const.

16. Рассматриваются два одинаковых однородных стержня АВ н АС, связанных шарнирно в точке А и касающихся вертикальной окружности таким образом, что точка А находится на одной вертикали с центром. Найти положение равновесия. (Если 21 - длина стержня, а - угол их наклона с горизонтом, R - радиус круга, то tga-j-tga--г; = О- Имеется

одно положение равновесия. Устойчиво ли оно?)

17. Равнобедренный тяжелый однородный треугольник, высота которого h и равные стороны имеют длину а, лежит своими тремя вершинами на поверхности сферы. Найти положение равновесия (Вриглей).

18. Равносторонний однородный тяжелый треугольник АВС находится в вертикальной плоскости. Его вершина А скользит без трения по вертикальной прямой Ох, а середина М стороны АВ прикреплена к неподвижной точке О этой прямой при помощи невесомой и нерастяжимой нити.

Найти положения равновесия. Исследовать их устойчивость. Если обозначить через а угол ОМ с осью Ох, то задача приведется к нахождению

максимума и минимума функции sina 4--g.

19. Однородный тяжелый эллиптический диск лежит в вертикальной плоскости и касается горизонтальной оси, по которой он может скользить без трения. По контуру диска обернута нить, несущая на конце заданный груз. Найти положения равновесия системы. (Можно привести эту задачу к следующей: провести к эллипсу параллельные касательную и нормаль таким образом, чтобы отношение их расстояний до центра было заданным.)

20. Однородная тяжелая пластинка ABCDE, лежащая в вертикальной плоскости, имеет следующую форму: АВ - горизонтальная прямая длины х, ВС-вертикаль длины Ь, CD - горизонталь длины с, меньшей чем х, DE-дуга неизвестной кривой Г, выходящей нз точки D и поднимающейся над CD со CTOfioHbi точки А; и, наконец, ЕА - вертикальная прямая. Пластинка может свободно вращаться вокруг точки В, предполагаемой

кривой имеет вид r - л (я + * cos 6) + с = 0. Это - овал Декарта; в частном случае, когда с = О, будет улитка Паскаля.]

12. Тот же вопрос в предположении, что кривая С проходит через В и что вместо того, чтобы быть натянутой, нить протянута по кривой (циклоида).

13. Найти положение равновесия однородного тяжелого стержня длины 1а, расположенного в вертикальной плоскости и опирающегося на неподвижную точку О, по которой он может скользить, а концом А - на вертикальную стену.

(5С = 0. Если Ъ - расстояние от точки О до стены, то для равновесия

получается OA = У аЬ"; эта величина должна быть меньще я.)

14. Однородный тяжелый стержень АВ длины 2а опирается на край полуокружности, диаметр которой 2/? горизонтален, а конец его лежит на этой же полуокружности. Найти положение равновесия. (Наклон / стержня дается уравнением 4/?cos2/ - acos/-2Р = 0; для возможности равновесия

aVb а

необходимо, чтобы было -~- > R >.

15. В вертикальной плоскости даны две неподвижные кривые С и С Две тяжелые точки с массами т и т скользят без трения по этим кривым и связаны друг с другом невесомой и нерастяжимой нитью, проходящей через бесконечно малый блок О. Одна из этих кривых дана. Какой должна быть другая кривая, чтобы равновесие было безразличным? Если взять горизонтальную полярную ось, то необходимо и достаточно, чтобы



закрепленной, и находится под действием веса и горизонтальной силы F, приложенной в точке Е. Какой должна быть форма кривой Г, чтобы равновесие имело место при любом положении ограничивающей ординаты ЕА, т. е. каково бы ни было х {Ь л е рассматриваем как постоянные)? (Фурман). Если взять горизонтальную и вертикальную оси с началом в точке D,

а"

-+ех

ТО уравнение этой кривой получится такое: у-\-Ь= be"

21. Найти такие кривые, чтобы однородная тяжелая цепь длины /, скользящая по ним без трения, была в равновесии в любом положении.

Ответ. Если взять вертикальную ось Oz и обозначить через /(s) периодическую функцию периода то необходимо и достаточно, чтобы координата z какой-нибудь точки кривой была связана с дугой s соотношением z = f{s). Так, можно принять z = а sin, где к - целое число.

22. Дана направленная вверх вертикальная прямая ОВ и два невесомых стержня BD и ОС, связанных шарнирно в точке С, расположенной мвжду В и D. Стержень ОС вращается вокруг точки О, а конец В стержня BD скользит без трения по неподвижной прямой ОВ. К точке D подвешен груз. Найти положения равновесия. В каких случаях равновесие будет безразличным?

23. Шесть одинаковых однородных стержней веса р связаны шарнирно своими концами и образуют шестиугольник, лежащий в вертикальной плоскости. Сторона АВ этого шестиугольника закреплена неподвижно в горизонтальном положении; остальные стороны расположены симметрично относительно вертикали, проходящей через середину АВ.

Какую направленную вертикально вверх силу F нужно приложить к середине горизонтальной стороны, противоположной АВ, чтобы система была в равновесии? (F=Sp).

24. Твердое тело с пятью степенями свободы. Положение свободного твердого тела в пространстве зависит от шести параметров (п. 183). Если между этими параметрами установить какое-нибудь соотношение, то тело будет иметь только пять степеней свободы и его положение будет зависеть от пяти параметров q,, q, ..., q. Доказать, что если тело поместить теперь в какое-либо определенное положение, то все возможные перемещения, допускаемые наложенными на него связями, должны удовлетворять следующему геометрическому условию. Существует такая неподвижная прямая D, что проекция на нее скорости поступательного движения, сообщенной определенной точке тела, находится в постоянном соотношении с проекцией на ту же ось сообщенной телу мгновенной угловой скорости вращения. Нужно заметить, что координаты Xq, уо, zq определенной точки тела и девять направляющих косинусов осей Ох, Оу, Oz прямоугольного координатного триэдра, связанного с телом, относительно неподвижных осей ОуХ,, у,, z, (п. 51) будут функциями пяти параметров q{. Тогда, если сообщить этим параметрам

произвольные вариации bq,, bq„.....05 в течение промежутка времени 8, то

проекции Vy, Vl возможной скорости точки О на оси Oxyz и компоненты р, q, г возможной мгновенной угловой скорости вращения по тем

же осям будут линейными однородными функциями от

Исключение этих пяти произвольных величин приведет к линейному однородному уравнению, связывающему величины К, V\j, Vi, р, q, г, коэффициенты которого будут функциями от qx, q->, q-. Интерпретация этого уравнения даст высказанную теорему. (В п. 201 Treatise of natural Phylosophy Тэта и Томсона можно найти описание механизма, позволяющего осуществить такого рода связи.)



ГЛАВА IX ПОНЯТИЕ О ТРЕНИИ

188. Общие сведения. До сих пор мы рассматривали твердые тела как идеально твердые и идеально отполированные и допускали, что если два тела, находящиеся в покое или в движении, соприкасаются друг с другом в какой-нибудь точке и мог.ут скользить друг по другу, то их взаимодействие нормально к общей касательной плоскости в этой точке.

Это предположение противоречит опыту. Естественные тела не являются ни идеально твердыми, ни идеально гладкими. Когда два естественных тела "находятся в соприкосновении, то никогда касание не происходит в одной точке; оба тела испытывают деформации, вообще говоря, очень малые, вследствие которых касание происходит по малой части поверхности. Эти деформации постоянны, когда тела находятся в равновесии, и становятся переменными, когда одно тело скользит по другому. Тогда они вызывают колебания молекул и поэтому развивается тепло или электричество, на возникновение которых затрачивается часть работы движущих сил.

Эти сложные явления становятся доступными для расчета, если предположить, что к нормальной реакции добавляются касательная сила и пары.

Вообразим два движущихся твердых тела Ац В (рис. 122), находящихся в соприкосновении. Пусть m - точка тела Л, находящаяся в соприкосновении с телом В. Как мы видели в п. 57, относительные скорости различных точек тела А по отношению к телу В, рассматриваемому как неподвижное, будут такими, как если бы тело А обладало: 1) поступательной скоростью, называемой скоростью скольжения и совпадающей с относительной скоростью точки т, лежащей в общей касательной плоскости к поверхностям тел в т; 2) мгновенным вращением с угловой скоростью ш вокруг оси, проходящей через точку т; слагающая а)„ этой угловой скорости по общей нормали в m к обеим поверхностям называется скоростью


Рис. 122.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 [80] 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0038