Главная Промышленная автоматика.

Принимая во внимание установленное ранее (п. 12) выражение для взаимного момента двух векторов, получим:

LX + MY+NZ = {LL"){X-\-X")Jr ••• = 6 объем. {F, Ф),

что позволяет дать замечательное геометрическое истолкование инварианта

LX + MY+NZ.

Пусть Рх, Рч,.....Рп - первоначальные векторы предложенной системы.

Имеем соотношения

X=SXfc, LY.Lu..... (1)

LuXJrMuYn + NT,Z = 0. (2)

В силу соотношений (1) и тождества (2) находим также

LX + MYNZ = Ъ ЩХь + MiY + NiZ + LXi + MYi + NZi),

где сумма в правой части распространена на все парные сочетания индексов / и Но выражение под знаком 2 есть взаимный момент векторов Pf и P]f и, следовательно,

LX-\-MY+NZ = % объем. (Я, Р),

п(п-1) „

где во второй части число членов равно ---. Полученные формулы

показывают, что, каким бы способом ни били приведены векторы Р к двум векторам F и Ф, объем тетраэдра (F, Ф) будет постоянным и равным алгебраической сумме объемов тетраэдров, полученных путем парных сочетаний векторов Pjc (Шаль). Для того чтобы два вектора F и Ф находились в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы объем тетраэдра Шаля равнялся нулю.

22. Приведение двух эквивалентных систем друг к другу.

Рассмотрим сначала систему (5), эквивалентную нулю. Тогда два вектора F и Ф, к которым мы можем привести систему, будут также эквивалентны нулю, т. е. эти векторы, как было показано ранее (п. 18), будут равны и прямо противоположны. Тогда можно эти векторы отбросить и таким образом привести систему (S) к нулю.

Пусть теперь предложены две системы векторов (5) и (5о), эквивалентные между собой. Тогда эти системы могут быть приведены одна к другой при помощи элементарных операций. В самом деле, будем исходить из системы (5) и присоединим к ней систему (•о)(--о). образованную векторами (5о) и векторами, им равными и прямо противоположными. Это, очевидно, - одна из элементарных операций, повторенная некоторое число раз. Совокупность систем (S) и (-Sq), будучи эквивалентна нулю, может быть приведена к нулю при помощи элементарных операций. После этого останется система (Sq), что и доказывает предложение.

23. Пары. Г. Определение. Парой, по Пуансо, называют совокупность двух векторов Р и -Р, равных по модулю, параллельных и противоположно направленных. Расстояние АВ (рис. 20) называется плечом пары, а произведение АВ • Р плеча на модуль



вектора Р называется ее моментом. Когда момент равен нулю, то и пара эквивалентна нулю. Действительно, в этом случае равны нулю либо оба вектора, либо плечо АВ, а тогда оба вектора прямо противоположны.

Так как пара является системой векторов, для которой главный вектор равен нулю, то главный момент пары постоянен по величине и направлению для всех точек пространстда. Этот главный момент называется векторным моментом пары. Векторный момент пары является, следовательно, вектором, имеющим определенный модуль и направление, но его точка приложения может быть выбрана в пространстве произвольно, другими словами, векторный момент пары является вектором свободным. Чтобы уяснить, каким является этот вектор, найдем главный момент относительно точки О, расположенной на плече АВ между точками А и В. Моменты обоих векторов Р и - Р будут перпендикулярны к плоскости пары и одинаково направлены, так как оба вектора Р и -Р имеют Рис. 20. одинаковое направление вращения вокруг

Точки О. Следовательно, главный момент 0G, т. е. векторный момент пары, перпендикулярен к плоскости пары и имеет модуль, равный Р • ОА-]-Р ОВ или Р АВ, т. е. равный моменту пары.

Из предыдущего следует, что две пары с одинаковыми векторными моментлма эквивалентны, так как они имеют одинаковые главные моменты и одинаковые, равные нулю, главные векторы. Следовательно, они могут быть приведены одна к другой при помощи элементарных преобразований. Мы не входим зесь в подробности этого приведения. Оно может быть произведено, согласно указаниям п. 22.

Мы ограничимся формулировкой следующего заключения: Всегда можно при помощи элементарных операций преобразовать одну в другую две пары, имеющие одинаковые векторные моменты, т. е. две пары, лежащие в параллельных плоскостях и имеющие одинаковые моменты и одинаковые направления вращений.

2°. Сложение n<ip. Любое число пар всегда эквивалентно одной паре, векторный момент которой равен сумме векторных моментов слагаемых пар.

В самом деле, система, образованная р парами Pj, -Р,; Pi, -Рг, Рр, -Рр, есть система векторов, для которой главный вектор равен нулю. Главный момент этой системы будет, следовательно, одним и тем же для любой точки пространства (рис. 21).

Для нахождения этого главного момента 0G относительно точки О можно поступить следующим образом. Возьмем сначала геометрическую сумму 00 моментов векторов Р и -Р\, которая




Рис. 21.

равна векторному моменту первой пары, затем сумму 00 моментов векторов и -Рг равную векторному моменту второй пары, и так продолжаем до тех пор, пока не получим сумму 00, равную векторному моменту последней пары. После этого полученные частичные суммы OG, OG2.....OGp складываем вместе. Рассмотрим теперь пару с вектор- „ ным моментом 0G, равным V 1* главному моменту. Эта одна пара эквивалентна системе всех заданных пар, так как эта пара и эта система имеют одинаковые главные моменты, равные 00, и одинаковые главные векторы, равные нулю.

Можно при помощи элементарных операций привести заданную систему пар к одной паре с векторным моментом 00. Если 00=0, то

эта одна окончательная пара эквивалентна нулю и тогда вся заданная система тоже эквивалентна нулю.

Мы не будем здесь входить в подробности относительно тех элементарных операций, при помощи которых может быть осуществлено указанное сложение пар. Нам достаточно знать, что такое сложение осуществимо.

24. Приведение к вектору и паре. Произвольная система векторов эквивалентна одному-единственному вектору, равному главному

вектору и приложенному в произвольной точке, и одной-единственной паре с векторным моментом, равным главному моменту относительно указанной точки. В самом деле, пусть OR - главный вектор и 00-главный момент системы относительно произвольной точки О. Новая система, образованная вектором R и парой (Р,-Р) с векторным моментом 0G, эквивалентна заданной системе, так как она имеет тот же главный вектор OR и TOf же главный момент 00 относительно точки О (рис. 22). Заданная система может быть, следовательно, приведена к системе R, Р, -Р при помощи элементарных операций.

Так как точка О взята произвольно, то существует бесчисленное множество способов определения вектора и пары, эквивалентных заданной системе. После того, как точка О уже выбрана, в качестве пары (Р, -Р) может быть взята любая из бесчисленного множества пар, имеющих векторный момент 0G.


Рис. 22.





0 1 2 3 4 5 6 7 [8] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037