Главная Промышленная автоматика.

Затем нужно будет искать положения равновесия, при которых

х2 + у2 4-гЗ -Р<0,

(Л- -а)2 4-(г -с)2 -2 = 0,

т. е. при которых нить не натянута, но точка находится на цилиндре. Тогда в качестве возможных положений равновесия получатся все точки образующей В, расположенные между найденными выше положениями Е и Е. Точно так же нужно будет искать положения, для которых

л:2 1 у2 4-г-2 -/2 = 0,

(х5 - в)2-f (г - с)" - О,

т. е. нить натянута, но точка находится вне цилиндра. Очевидно, получится вертикальное положение равновесия нити.

Наконец, остается найти положения, для которых

д:2 + у2 г.2 /2 < о,

(X - af -\-(z - cf - R- > О,

т. е. нить не натянута и точка лежит вне цилиндра. Таких положений равновесия не существует.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Проверить, что если две точки М(х, у, z) и М {х, у, z) системы связаны нерастяжимой и невесомой нитью, проходящей через некоторую кривую С, то сумма работ реакций связей (натяжений нити в точках М и М) равна нулю для перемещения, допускаемого связью.

Ответ. Обозначая через А (а, Ь, с) точку, в которой нить опирается на кривую, и через Т натяжение, одинаковое вдоль всей нити, получим, после приведений, для суммы работ натяжений, приложенных в точках М и М, значение

равное нулю, так как не имеющий массы элемент ds нити, расположенный в точке А, находится в равновесии под действием двух натяжений на его концах и нормальной реакции кривой, вследствие чего эта реакция является биссектрисой угла МАМ.

2. Проверить тот же вопрос для случая, когда обе точки М и М связаны невесомой нитью, скользящей без трения по неподвижной поверхности S.

Нить располагается по прямолинейной части МА, затем по поверхности S вдоль геодезической линии АА и, наконец, снова по прямолинейной части АМ; натяжение нити вдоль всей ее длины имеет одно и то же значение Т. Эти свойства вытекают из того, что, поскольку нить не имеет массы, то приложенные к ней силы находятся в равновесии. Обозначая через (а, Ь, с) и (а, о, с) координаты точек А и А, имеем

МА-\-АА -\- АМ = const.

Если сообщить системе возможное перемещение, допускаемое связями, то дуТа АА перейдет в ААу и при попытке проверить, что сумма работ натяжений в точках М w М равна нулю, придем к геометрическому соотношению

6 {аа) + АА cos + А[ cos ХА = О,



выражающему свойство геодезических линий поверхности. (Упражнение в конце предыдущей главы для случая ч = 1.)

3. Диск, ограниченный кривой С, движется в плоскости. Невесомая нить закреплена в точке М контура С диска, обернута вокруг него и затем протянута до точки М системы, где она закреплена. Проверить, будет ли сумма работ реакций связи равна нулю для перемещения, допускаемого этой связью.

(Достаточно заметить, что связь в.ходит в число связей, рассмотренных в тексте, так как точка М вынуждена скользить без трения по одной из разверток кривой С. Можно также повторить рассуждения п. 162.)

4. Равновесие простого домкрата. Мащина состоит из шестерни радиуса я, которую при помощи рукоятки длины Ь заставляют вращаться вокруг своей оси. Эта шестерня находится в зацеплении с зубчатой рейкой, так что при вращении шестерни вокруг оси рейка перемещается вдоль самой себя. Движущая сила Р приложена в конце рукоятки перпендикулярно к ней, а сопротивление R противодействует перемещению рейки. (Условие равновесия: Pb - Ra = 0.)

5. Дифференциальный ворот. Эта машина состоит из двух неизменно связанных между собой цилиндров с общей осью, но разных радиусов г и г. Веревка, несущая блок, навернута вокруг обоих цилиндров в противоположных направлениях. Движущая сила Р приложена перпендикулярно к рукоятке радиуса я, а сопротивление R вызывается грузом, подвешенным к блоку. [Условие равновесия 2аР - (г - г) Р.]

6. Принцип минимума суммы квадратов расстояний. (Мёбиус н Гаусс, Crelle, т. 4.) Дана система точек Ми М2, .... Л1п. находящаяся под действием сил Pi, Р2.....Рп- Система находится в равновесии в положении т,,

/П2...../п„, где силы имеют значения ру, р2.....Рп- Отложим от точки

в направлении силы pi отрезок miOy, равный Pi/Л, от точки /П2 в направлении Р2 - отрезок тгОо. равный p2lk. .... где й -отличная от нуля постоянная. Возьмем после этого произвольное положение Му М.....Мп системы и приложим к точкам Му, Л1,.....Мп силы Ру, Pj, Р,направленные соответственно по прямым МуОу, М2О2, МпОп и равные кМуОу, кМ2.....кМпОп- Под действием этих новых сил система будет по-прежнему находиться в равновесии в том же положении ту, /Пг, т„, так как

в этом специальном положении силы Р[, Р, ..., Р совпадают с Рх,Р2.....Рп-

Так как новая система сил Р,, Р, Р имеет силовую функцию

и = -к(м1 + Щ)1+ ... +м;р1),

то, как мы видим, рассматриваемое положение равновесия обращает, вообще говоря, эту функцию в максимум или минимум и во всяком случае в этом положении равновесия вариация функции U обращается в нуль.

Прилагая теорему к простейшему случаю, мы видим, что если точка т находится в равновесии под действием трех сил тОу, П1О2, тОв, то это положение равновесия будет тем положением точки М, для которого сумма

мо\ + мо1 + Mot

имеет минимум, что является хорошо известным свойством центра тяжести треугольника OiOjOg.

7. Вообще рассмотрим систему точек Му {Ху, у,, Zy), М {х, Уг. Z2), ... Мп (Хп, Уп Zn), подчиненных заданным, не зависящим от времени

связям, и находящихся под действием непосредственно приложенных сил, причем для простоты мы будем считать, что силы, действующие на точку Му, приведены к одной силе Р {Х, Ki, Zi), силы, действующие на точку М, - к



одной силе Ро. {Хо,, Kg, ... Допустим, что эта система имеет определенное положение равновесия, для которого точки М,, .....Л1„ занимают определенные положения Шу, .....т„ с координатами {а,, Ь,, Су), (яг. Ь, е), ...,

{йп, Ьп, Сп), а соответствующие силы имеют определенные значения р,, Р2, Рп с соответствующими проекциями (Ау, By, С,), (А, В2, С2), ... ..., (An, Вп, Сп).

Составим функцию U от Ху, у,, zy, Xj, уг. .....х„, у„, г„, частные

ди ди ди , г, , .

производные которой , , принимают значения Ai, Bi, С,- (/ = 1,

2, п), когда система находится в рассматриваемом положении равновесия, т. е. когда координаты х,, уу, z,, Xg, Уг-гз. • • •> х„, у„, г» принимают значения а,, by, Cj, Oj, ftj, C3, я„, 6„, c„. Та же система, находясь под действием сил Р[, Р2, .... Рп, имеющих силовую функцию6, будет по-прежнему находиться в равновесии в том же самом положении т,, /Па, ..., /п„, так как

в этом положении силы Р,, Р\.....совпадают с силами р,, ро, ..., Рп-

Следовательно, в общем случае, функция U имеет в этом положении равновесия максимум или минимум и во всяком случае ее вариация в этом положении равна нулю.

8. Двойной тяжелый конус, образованный двумя одинаковыми конусами, соединенными основаниями, положен на две пересекающиеся прямые, одинаково наклоненные к гоизонту причем так, что центр тяжести конуса находится в вертикальной плоскости, делящей пополам угол между обеими прямыми. Найти условия равновесия (система тяжелая, ВС = 0).

Геометрически необходимо и достаточно, чтобы плоскость, проходящая через центр тяжести и две точки касания конуса с прямыми, была вертикальной, или чтобы линия пересечения касательных плоскостей к конусам в точках касания была горизонтальна.

Аналитически, если т обозначает половину угла раствора конусов, а - угол наклона плоскости обеих прямых к горизонту, р - половину угла между вертикальными плоскостями, проведенными через эти прямые, то условие равновесия будет tg а = tg m tg р. (А. Флёр и, Annales de Mathematlques, 1854.)

9. Применив положение о том, что равновесие тяжелой системы получается, если приравнять нулю вариацию высоты G центра тяжести, доказать, что свободной поверхностью находящейся в равновесии тяжелой жидкости является горизонтальная плоскость.

10. Если три точки гпу, moj связаны таким образом, что площадь треугольника т,, т, постоянна, и если на точки действуют три силы Pi, Рз. Рз- то для равновесия необходимо и достаточно, чтобы эти силы лежали в плоскости треугольника и чтобы они были перпендикулярны противоположным сторонам треугольника и им пропорциональны.

Если четыре точки связаны таким образом, что объем тетраэдра с вершинами в этих точках постоянен, и если на них действуют четыре силы, то для равновесия необходимо и достаточно, чтобы эти силы были перпендикулярны противоположным граням тетраэдра и им пропорциональны (К. Нейман).

11. Однородный тяжелый стержень OA вращается в вертикальной плоскости вокруг своего закрепленного конца О. Нить, прикрепленная к концу Л перекинута через находящийся на одной вертикали с О бесконечно малый блок В и несет на своем конце противовес Q, скользящий без трения по находящейся в той же вертикальной плоскости кривой С.

Какова должна быть эта кривая, чтобы равновесие системы было безразличным? (Подъемный мост Белидора.)

[Необходимо, чтобы центр тяжести системы перемещался горизонтально. Приняв точку В за начало, найдем, что в полярных координатах уравнение





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 [79] 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0058