Главная Промышленная автоматика.

Это необходимое условие равновесия распадается на два: у = О и а - д: = 0. Рассмотрим последовательно каждый из этих случаев.

Первый случай, у = 0. Полагая в уравнениях связи (8) у = О, получим два соотношения

Л-2 г-2 = р,

x - a)4 + (2-cУ = R

определяющих два положения равновесия в точках А и А пересечения окружности основания цилиндра с окружностью, лежащей в плоскости xz и описанной из точки О как из центра радиусом, равным /. Обозначим через X, у, z координаты одного из этих положений. Чтобы узнать, пригодно ли оно, дадим точке т в этом положении какое-нибудь освобождающее перемещение, т. е. такое, для которого

8Х<0, 8(1.<0.

Необходимо, чтобы при таком перемещении работа mgbz заданной силы была или отрицательна, или равна нулю. Но при у = О из выражения (12 для bz получим

(я - х)Ъ\ - X 8(а ~ az - сх

и это выражение должно быть или отрицательным, или равным нулю, когда 8Х и 8(а или отрицательны, или равны нулю.

Для положения А величины az~cx и я - х отрицательны, а х положительна; следовательно, Ьг имеет отрицательные значения при всех освобождающих перемещениях, и положение А пригодно.

Для положения А величины .а - х, х и аг - сх положительны; Ьг не будет отрицательным при всех отрицательных или равных нулю значениях 5а. и 5(а. Например, при 5Х = О и 5(а < О величина 8 получается положительной. Положение А не пригодно. Это видно сразу, так как если точку т положить на поверхности цилиндра в А, то она упадет.

Второй случай. Положим теперь х = а. Тогда из второго из уравнений (8) связей и.чеем

г~с=± R.

Это показывает, что искомые положения лежат либо на наивысшей образующей г = с - R, либо на наинизшей образующей г = с-\- R цилиндра. Согласно первому соотношению (8) они лежат на пересечении этих образующих со сферою радиуса I, описанной из точки О как из центра. Эта сфера пересекает верхнюю образующую B{z = c - R) в двух симметричных относительно плоскости гх точках £ и £ и не пересекает нижней образующей {г = е-\- R). Проверим, будет ли одно из этих положений Е и Е пригодно. Координаты этих положений будут

х=а, уО, z = c - R. (14)

Для того чтобы положение было пригодно, нужно, чтобы для всех освобождающих перемещений получалось

mg Ьг < 0.

Но значение (12) для Ьг при условиях (14) для координат рассматриваемых положений будет

аг-сх R

При всех освобождающих перемещениях 6(х <; О значение Ьг отрицательно или равно нулю; следовательно, оба положения Е и Е пригодны.



ААху, У1, Zy, , ..., Хп, Уп, гп) = О, fg (xi, yi, Zy, Хп, Уп, гп) = О,

(15)

а другие выражаются Л - g соотношениями неравенств тоже в конечной форме:

fg+l{->b Уь 1.....Хп. Уп, гп) <0,

fg+2{Xt, Уь Zy.....Хп, Уп, гпХО,

Д (ху, Уь Zb Хп, Уп, Zn) < 0.

(16)

Тогда задача нахождения всех положений равновесия системы под действием заданных сил распадается на несколько других задач, исследованных выше.

Мы будем говорить для краткости, что связь fg+\ осуществлена, если

система находится в положении, при котором функция/+i(xi,yi, z,.....Хп,

Уп, Zn) равна нулю и что указанная связь не осуществлена, если функция fg+i удовлетворяет неравенству связи (16)

4+1 < 0.

То же самое будет для остальных связей /+2. /й-Тогда различные положения равновесия распадаются на следующие: \°. Могут существовать положения равновесия, при которых все связи /+2. •••,fh осуществлены, а перемещения, допускаемые свя-

зями, сохраняют функции fyfi, •••,fg равными нулю, а функции +2, /п или сохраняют равными нулю, или делают отрицательными. При этих условиях перемещения, допускаемые связями, удов.тетворяют g равенствам

8/1 = 0, 8/з = 0..... 6/ = 0

и Л - g неравенствам

8/+1 < О, 84+2 <0. 8Д<0.

Положения равновесия этого рода будут как раз те, которые выведены методами п. 184.

Можно к этой задаче применить, в качестве упражнения, метод множителей Лагранжа. Тогда положения равновесия определятся соотношениями

O + Xjx -X2(x -й) = 0,

0 + Xiy =0,

mg -)- Xyz - Xj (г - с) = О,

где Xj и Х2 должны быть отрицательными или равными нулю.

Примечание. В соответствии с общим методом мы нашли положения равновесия в предположении, что связи осуществлены, т. е. что уравнения связей (8) удовлетворяются.

187. Связи, выражаемые неравенствами в конечной форме. В предыдущих параграфах мы предполагали, что связи выражаются равенствами. Но мы предполагали, что связи осуществляются таким образом, что перемещения, допускаемые связями, выражаются неравенствами. Мы показали, как можно найти все положения равновесия, при которых все связи осуществлены.

Можно постави.ть более общую задачу следующим образом. Представим себе систему точек, подчиненных связям, из которых одни выражаются g равенствами в конечной форме:

Л {Хъ Уъ 2i, Х2, Уъ Z2.....Х„, Уп, Zn) = о.



2°. Могут существовать положения равновесия, при которых одна из связей (16) не осуществлена, а остальные осуществлены. Например, можно искать положения равновесия, при которых

4+2 = 0, /а+з = 0..... Л = 0. (17)

Тогда снова получится такая же задача, как в п. 184, при которой осуществлены связи (15) и (17), а допускаемые перемещения удовлетворяют равенствам

5/1 = 0, 5/2=0..... 5/ = 0

и неравенствам

Vff+2<0, S/+3<0..... 5Д<0.

Но из этих положений равновесия системы нужно взять только, такие для которых выполняется условие

4+1 < 0.

3°. Точно так же могут существовать положения равновесия, при котот. рых не осуществлены два, три или вообще р связей (16), например,

4+1 < О, 4+2 < 0.....4+р<0, (18),

а осуществлены остальные:

4+р+1 = 0, 4+р+г = 0..... 4 = 0. (19>

Возможные перемещения, допускаемые связями, удовлетворяют равент. ствам (15) и неравенствам

S4+P+, <0. 5/++2 < 0..... 5Д<0. (20>

Эти положения равновесия находятся методом п. 184 без условий (18) Однако из найденных таким образом положений равновесия нужно сохра. нить только те, для которых выполняются неравенства (18).

4°. Могут, наконец, существовать положения равновесия, при которых ни одна из связей 4+i, 4+2 4 не осуществлена. Они найдутся, еслц определять положения равновесия системы, подчиненной только связям (15), Но из полученных положений равновесия следует сохранить дищь те, для которых выполняются неравенства

4+1 < О, 4+о<0, 4<0.

Пример. В примере предыдущего пункта мы определили положения равновесия точки, предполагая, что нить натянута и что эта точка лежит на поверхности цилиндра, т. е. предполагая, что осуществлены обе связи

х + у + гз -/2 = 0, (х - а)2 + (г - с)2 - рз = 0.

В более общей постановке можно искать положения равновесия, при которых

д;2у2 + г-2 -/3<0,

(X - й)2 + (г - су- - рз > 0.

Тогда сначала нужно взять в обоих соотношения* знчки равенства, чтс) даст уже найденные положения равновесия.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 [78] 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037