Главная Промышленная автоматика.

заданных, так и реакций связей. Работа этой равнодействующей, равная сумме работ составляющих сил, будет, следовательно, положительная, и мы имеем

fz)+ir£>0. (3)

Но в действительном перемещении сумма работ реакций связей равна нулю. Это очевидно, если действительное перемещение является неос-вобождающим перемещением, так как к нему может быть приложено все, что было сказано о работе реакций связей, в случае, когда последние выражаются равенствами. Но то же самое будет по-прежнему справедливо и в случае, когда действительное перемещение является освобождающим перемещением; это вытекает из того, что если действительное перемещение является освобождающим перемещением для какой-нибудь связи, то соответствующая реакция связи равна нулю и, следовательно, ее работа также равна нулю.

Например, возьмем какую-нибудь точку, лежащую на поверхности, которую она может покинуть в какую-либо сторону. Соответствующая реакция связи будет нормальной реакцией. Если точка приходит в движение под действием приложенных к ней сил, то могут представиться два случая: либо точка переместится по поверхности (неосвобождающее перемещение) и тогда работа реакции будет равна нулю, либо она покинет поверхность (освобождающее перемещение), но тогда реакция будет равна нулю, так как, по предположению, поверхность не удерживает точку и работа реакции будет по-прежнему равна нулю. Теперь возьмем две точки, связанные нитью. Если обе точки под действием приложенных к ним сил приходят в движение, то могут представиться два случая: или нить остается натянутой (равенство) и сумма работ натяжений равна нулю (п. 88), или точки сближаются (неравенство), но тогда нить не будет более натянутой, натяжения будут равны нулю и их работа по-прежнему будет равна нулю.

Резюмируя изложенное, можно сказать, что для действительного перемещения сумма работ реакций связей равна нулю,

и, следовательно, согласно неравенству (3) для действительного перемещения

что и требовалось доказать.

Примечание. Таким образом, доказанное условие является и необходимым и достаточным. Его можно высказать более кратко: для равновесия необходимо и достаточно, чтсбы на всех перемещениях, допускаемых связями, было

fz,<0. (4)

Отсюда само собой будет вытекать, что для неосвобождающих перемещений

Действительно, если для неосвобождающего перемещения получится < О, то, так как противоположное перемещение будет также допускаться связями, для этого нового перемещения получится Гх) > О, и, следовательно, условие (4) не будет более выполняться для всех допускаемых связями перемещений.

185. Аналитические выражения. Пусть на точки наложены связи, выражаемые равенствами и неравенствами такого вида, как (1) и (2). Если обозначить через Х„ Y„ проекции равнодействующей заданных сил, приложенных К точке (х,, у„ Z,), то для того, чтобы выразить, что имеет место



равновесие, надо написать, что для всех перемещений, удовлетворяющих соотношениям (1) и (2), выполняется неравенство

2 Ьх, + Y, Ьу, + Z, 8г,,) < О. (5)

Начнем с того, что приравняем нулю сумму в левой части соотношения для всех неосвобождающих перемещений, т. е. для всех перемещений, которые получатся, если приравнять нулю левые части равенств (1) и (2). Таким путем, при помощи методов п. 171 и 177, будут найдены положения равновесия.

После этого останется выбрать среди найденных положений те, при которых для каждого освобождающего перемещения сумма работ заданных сил равна нулю или отрицательна. Таким путем получатся все возможные положения равновесия, при которых все связи осуществлены.

Допустим, например, что использованы множители Лагранжа. Написав, что при всех неосвобождающих перемещениях сумма работ приложенных сил равна нулю, получим, как в п. 178, следующие необходимые условия равновесия:

r, + XiBb + Z, -j- \Cx, -\-

где = 1, 2, ..., n.

Возьмем теперь какое-нибудь положение равновесия, определяемое этими уравнениями. Чтобы они были применимы, необходимо и достаточно, чтобы множители Х+, Х+,, Xj,, соответствующие соотношениям (2), были отрицательны. Действительно, сообщим системе освобождающее перемещение Ьх,, Ьу„ bz,, удовлетворяющее соотношениям (1) и (2). Вычисляя сумму 2 {X, Ьх, + Y,by, -j- Z,bz,) при помощи уравнений (6), мы видим, что коэффициенты при X,, Xj.....Х равны нулю в силу соотношений (1) и остается

{X,bx, + Y,by,+Z,bz,) =

= - \ + i (Ag+l, 1 ЬХу + Bg + l, 1 5у, + Сд+у, 1 -f • . ) -

- Xg + 2 (+2,l5jfi 4- ...) -

-~Ч(АыЬх1+ ...). (7)

Эта сумма должна быть отрицательная при любых перемещениях, удовлетворяющих соотношениям (2), при которых коэффициенты перед множителями \+ь g+i< X;, либо отрицательны, либо равны нулю.

186. Пример. Найдем положение равновесия тяжелой точки т, прикрепленной к неподвижной точке О при помощи невесомой и нерастяжимой нити длины / и лежащей на наружной поверхности неподвижного горизонтального цилиндра вращения.

Примем точку О за начало; вертикаль, направленную вниз, -за ось Ог; прямое сечение цилиндра - за плоскость zOx; ось Оу будет тогда горизонтальна.

Сечение цилиндра плоскостью zx будет окружностью радиуса R, которую мы предположим целиком расположенной внутри угла xOz

(рис. 121). Обозначим через а я с координаты центра С этой окружности. Обозначим далее через В наивысшую точку окружности и предположим, чтс .Члина I нити больше длины ОВ, но меньше длины касательной к окружности,


Рис. 121.



.2 /2 = О, I S /?2 = 0./

Возможные перемещения, допускаемые первой связью, таковы, что они либо оставляют неизменным, либо уменьшают расстояние От, перемещения же, допускаемые второй связью, либо оставляют неизменным, либо уменьшают расстояние от точки т до оси цилиндра, так что

Ь(х- + у + гхо,

Ь[(х-а + (2-сГ]>(),

или, производя дифференцирование и меняя знаки во втором неравенстве

xbx + yby+zbz<0, \

- (х -я)Влг -(г -с)Вг<0.

Так как единственной заданной силой является вес, то для равновесия необходимо и достаточно, чтобы при условии осуществления соотношений (8) выполнялось неравенство

mgbzO (10)

для всех перемещений (9).

Для упрощения вычислений мы применим метод, который, очевидно, может быть распространен на общий случай. Примем в качестве независимых переменных левые части соотношений (9), положив

хЬх + уЬу + гЬг = Ы,

- (х - а)Ьх - {г - с) bz =

где Ы и В[А - две произвольные бесконечно малые величины. Разрешая эти уравнения относительно Ьх и bz, имеем

(е - z)bl - гг - {с - Z) уЬу ex - az

{а - х) ЬХ - xbL - {а - X) у Ьу " az - cx

(12)

Для того чтобы получить наиболее общее перемещение, допускаемое связями, можно принять, что by, ЬХ и В[1 произвольны при условиях

5)<0. 8(1 < О, (13)

являющихся условиями (9), написанными в новых переменных. Для равновесия, согласно соотношению (10), необходимо, чтобы величина mgbz, или, что то же, величина bz, была отрицательна или равна нулю для всех этих перемещений.

Возьмем сначала нвоееобождающие перемещения ЬХ =0, В(а = 0. Для того чтобы было равновесие, необходимо, чтобы для всех этих перемещений величина mgbz или bz равнялась нулю. Но если 8Х = О, 8[i = 0, то для 8 из равенства (12) получаем

- (а - X) у 8у az - ex

и чтобы эта величина была равна нулю при любом 8у, необходимо и достаточно, чтобы

(в -х)у = а

проведенной из точки О, так что когда нить натянута, точка т будет лежать на цилиндре.

Предполагая, что обе связи осуществлены, получим





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 [77] 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0041