Главная Промышленная автоматика.

как бесконечно малое перемещение каждой точки системы есть геометрическая сумма перемещения вращения и перемещения скольжения, то сумма возможных работ непосредственно приложенных сил равна сумме работ на каждом из указанных перемещений в отдельности. Для этой суммы имеем

f = 82 2 + 89 2 (vv - уЛ) 89 (yv +/Z).

где N - сумма моментов относительно оси Ог, а Z - сумма проекций на эту ось. Для равновесия необходимо, следовательно, чтобы

yv+/z = o.

Примечание. Выражение f представляет собой относительный момент двух систем векторов, из которых одна образована непосредственно приложенными силами, а другая имеет центральной осью ось Ог винтового движения, главным вектором 89 и минимальным моментом 8z = /89 (п. 28).

183. Приложение к условиям равновесия твердого тела. В таблице на стр. 240 мы обозначаем через А!", Y, Z, L, М, N проекции на оси координат главного вектора и главного момента относительно начала О сил, непосредственно приложенных к твердому телу.

Мы указываем, кроме того, число степеней свободы твердого тела, подчиненного различным рассматриваемым связям. Для свободного тела это число равно шести, так как положение свободного твердого тела зависит от трех координат Xq, у, г какой-нибудь точки О тела и трех независимых углов (например, углов Эйлера), которые определяют положение прямоугольного триэдра Охуг, связанного с телом, относительно неподвижного триэдра OyXiyiZy.

VI Неудерживающие связи

184. Связи, определяемые равенствами; допускаемые перемещения, характеризуемые неравенствами. Может случиться, что система подчинена связям, определяемым равенствами, но что возможные перемещения, допускаемые этими связями, определяются неравенствами. В этом случае говорят, что система подчинена неудержиеающим связям.

Представим себе, например, материальную точку, положенную на горизонтальный стол, который она может покинуть, переместивщись вверх. Примем за ось Ог направленную вверх вертикаль. Предположив, что связь осуш,естелена, имеем г = О, но возможные перемещения, допускаемые этой связью, будут таковы, что

Представим себе теперь две точки М(х, у, г) и Myixy, уу, г-, связанные невесомой нерастяжимой нитью длины /; наибольшее расстояние между этими точками равно /, но это расстояние может быть и меньше, так как нить не препятствует точкам приближаться друг к другу. В предположении, что связь осуш,ествлена, т. е. что нить натянута, имеем

/2 = 1\



Аду 5х, Н- Вд15у, Н- Сд151 + ... Н- Адп Sx„ Н- 5у„ + Сдп 5г„ = 0;

1 -1 + fl+i. 1 + 1 + • • • I

... H-+i,„6jf„H-Bg+i,„5y„H-Cg+i,„5„<0, I Ag+2,ybXy + Bg.2.ybyy-\-Cg+l,ibzi-\-... (2)

... +Л+2.»-«» + в+2,п8уп+Сд+2,п8г-„<0, j

Лм 5xi H- Bfti 5yi H- Cfti 6г, H- ... H- Лй„ 5x„H-Bft„ 6y„ С,.„ 6г„ < 0. j

Мы имеем таким образом Л соотношений: g равенств и Л - неравенств. Мы будем предполагать, что левые части всех неравенств либо отрицательны, либо равны нулю, чего можно всегда достичь, изменив, в случае необходимости, знаки обеих частей.

Мы ставим себе задачей найти для такого рода систем положения равновесия, при которых все связи осуществлены.

Полезно разбить перемещения, допускаемые связями, на две категории: 1) нвосвобождающив перемещения и 2) освобождающие перемещения. Мы будем называть освобождающими перемещениями такие перемещения, для которых левые части соотношений (2) равны нулю, как и для соотношений (1):

A,j+\, 15xi + ... + C+i, „ bzn = О,

Очевидно, что каждому неосвобождающему перемещению соответствует такое же перемещение, ему равное, но противоположное по направлению, так как если левые части равенств (1) и (2) равны нулю для какой-нибудь системы значений Вх„ Ву„ bz„ то они будут также равны нулю, если у всех Вх„ Ву„ bz, переменить знаки на обратные.

Наоборот, мы назовем освобождающим перемещением такое перемещение, для которого хотя бы одна из левых частей соотношений (2) не равна нулю, например:

Ад+и 1 BXj + . . . Н- С+1, „ bZn < 0.

В этом случае перемещение, равное и противоположное, не допускается связями, так как если переменить знаки у Ьх,, Ьу,, bz, на обратные, то неравенство не будет выполняться.

Теорема о возможной работе для такого рода связей формулируется так: Для того чтобы в положении, при котором все связи осуществлены, имело место равновесие, необходимо и достаточно, чтобы для всех

а возможные перемещения, допускаемые этой связью, либо оставляют расстояние г равным /, либо уменьшают его:

6/-<0.

Так как

r-.ix- + (у - yiP + (г - zx)\

то эти перемещения определены неравенством

(X - xi) (5х - 5xi) + (у - yi) (5у 5у1) Н- (г - (5г - 5i) < 0.

Вообще можно представить себе систему из п точек х„ у„ г.„ подчиненную таким связям, что когда они все осуществлены, возможные перемещения, допускаемые этими связями, определяются некоторыми равенствами и некоторыми неравенствами:

Ли 5х, + Вц 5у1 -j- Си 5г, Н- ... Н- Sx„ + Ьуп + Q» 6г„ = О, Ла 5X1 + 21 Syi + с21 51 Н- ... Н- Лгп 5х„ + Взп 8уя + Ьг» = О,



возможных перемещений, допускаемых связями, сумма работ заданных сил была равна нулю ила была отрицательной, причем нулю она должна быть равна для неосвобождающих перемещений, равна нулю или отрицательной для освобождающих перемещений:

Необходимость условия. Для доказательства, что условие необходимо, достаточно показать, что в случае неудерживающих связей для любого перемещения, допускаемого связями, сумма возможных работ реакций связей .гибо равна нулю, либо положительна: равна нулю для неосвобождающих перемещений, равна нулю или положительна для других перемещений.

В са.чом деле, возьмем, например, точку, положенную на некоторую поверхность, которую она может покинуть в какую-нибудь сторону. Нормальная реакция поверхности будет, очевидно, направлена в ту сторону, в которую точка может покинуть поверхность. Следовательно, если точке сообщить перемещение, при котором она покидает поверхность (освобождающее перемещение), то работа реакции будет положительна; она будет равна нулю только в том случае, когда реакция также равна нулю. Если точке сообщить перемещение по поверхности (неосвобождающее перемещение), то работа реакции будет равна нулю.

Возьмем теперь две точки, связанные не имеющей массы нерастяжимой нитью. Если нить натянута, то реакциями связи будут натяжения Т на обоих концах, стремящиеся сблизить точки. Если обе точки переместить таким образом, чтобы расстояние не изменилось (неосвобождающее перемещение), то сумма работ натяжений будет равна нулю (п. 88); но если при перемещении точки сближаются (освобождающее перемещение), то сумма работ натяжений будет, очевидно, положительной; она будет равна нулю лишь в частном случае, когда Натяжение также равно нулю.

Резюмируя сказанное для всех перемещений, допускаемых связями получаем

Г£>0,

где оГ, как и прежде, обозначает сумму работ реакций связей и знак равенства следует брать для неосвобождающих перемещений.

Установив это, допустим, что система находится в равновесии. Каждая точка, как мы это подробно разобрали в п. 165, будет находиться в равновесии под действием всех приложенных к ней сил как непосредственно заданных, так и реакций связей, и если системе сообщить какое-нибудь возможное перемещение, то получится

где Гд - сумма работ заданных сил. Но если перемещение допускается связями, то, как мы видели, §j !> О и, следовательно,

Гл<0.

Таким образом, высказанное условие является необходимым, причем знак равенства соответствует неосвобождающим перемещениям.

Достаточность условия. Для доказательства, так же как и в п. 165, покажем, что если равновесия нет, то существует по крайней мере одно перемещение, допускаемое связями, для которого сумма работ ffp заданных сил отлична от нуля и положительна. В самом деле, если равновесия нет, то система приходит в движение и совершает перемещение, допускаемое связями. В этом действительном перемещении каждая точка перемещается вдоль равнодействующей всех приложенных к ней сил как непосредственно





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 [76] 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0057