Главная Промышленная автоматика.

коэффициенты при Ьх и Ьу были также равны нулю. (Это рассуждение аналогично рассуждениям в п. 177). Таким образом получаем уравнения равновесия

Xcis + ci(T) = 0, Vcls + ci{T) = 0, Zds + d(T§)=0.

совпадающие с теми, которые были установлены непосредственно.

Частный случай. Допустим, что X, Y, Z являются частными производными функции и (х, у, Z, S) по X, у, г:

y-dU y dU „ dU -Ш -J ~dF-

Тогда

j (ХЬх+УУ + Zbz)ds = b j U{x, y, z, s)ds,

И, следовательно, для получения положения равновесия нужно искать координаты д:, у, Z в функции величины s, обращающие в максимум или минимум интеграл

j U(x, у, Z, s)ds о

при условии (1). Например, для неоднородной тяжелой нити вес элемента ds имеет вид g<f(s)ds; направив ось z вертикально вверх, имеем

U = - gZf (s),

и положение равновесия обращает в максимум или минимум интеграл

- gjz<f (s)ds,

т. е. высоту центра тяжести.

В общем случае, для определения натяжения имеем уравнение

dT + Xdx+Ydy + Zdz=0,

Которое при рассматриваемом предположении обращается в

Но при увеличении s на ds имеем

„ ди , ди , , ди , , dU dU == dx -4- - dy + -3- dz+- ds, дх ду dz ds

откуда

dT + dU - ds==0. ds

Следовательно, если U не зависит от s, то получаем

T + U-=h,

как мы это видели и ранее (п. 137). В этом частном случае, когда U не зависит от S, только что изложенная теория позволяет непосредственно установить результаты, уже полученные в параграфе III, главы VII; таким образом, эти результаты оказываются связанными с принципом возможных скоростей.



V. Общие теоремы, выводимые из принципа возможных скоростей

180. Связи допускают поступательное перемещение системы параллельно оси. Допустим, что связи допускают поступательное перемещение всей системы параллельно оси, которую мы примем за ось Ох. В основном уравнении статики

2 Ьх, + Y, Ьу, + Z, Ьг,) О,

приложенном к этой системе, для рассматриваемого частного перемещения нужно положить

Ьу, = 0, Ьг, = 0, 8x=:8x2= ... =8x„.

Вынося в нем за скобку общий множитель Ьх„ получим

Для равновесия системы необходимо, следовательно, чтобы сумма проекций на рассматриваемую ось Ох непосредственно приложенных сил равнялась нулю.

181. Связи допускают вращение системы вокруг оси. Допустим, что связи допускают вращение всей системы как целого вокруг оси, которую мы примем за ось Ог. Обозначая через г, и б, полярные координаты проекции точки (х,, у„ г,) на плоскость хОу, имеем

X, = г, COS 6„ у, = г, sin 6,.

Для того чтобы выразить, что система получает рассматриваемое перемещение, нужно, оставляя г, и г, постоянными, изменить все полярные углы б, на одну и ту же величину 56. Таким путем для Ьх„ Ьу„ Ьг, получаются значения

bx, = - r,smb,bb = ~y,oB, Ьу,=х,ЬЬ, Ьг,0.

Сумма возможных работ непосредственно приложенных сил для этого частного перемещения равна

2 (Х, Ьх, + у, Ьу, + Z, ог,) = 86 2 (х,У, - У,Х,).

т. е. она равна произведению 86 на сумму N моментов непосредственно приложенных сил относительно рассматриваемой оси. Для равновесия необходимо, чтобы эта сумма равнялась нулю.

Мы видим, что понятие момента относительно оси вводится, таким образом, наиболее естественно.

182. Связи допускают винтовое перемещение всей системы. Примем за ось Ог ось винтового движения. Пусть 86 - бесконечно малый угол, на который система поворачивается вокруг оси Ог, а 82-величина скольжения вдоль этой оси. Положим 82 = /86, / будет тем, что мы назвали параметром винтового движения. Так



Степени свободы

Возможные параллельно

перемешення вокруг

Условия равновесия (число которых равно числу степеней свободы)

Никаких связей.............

Ох, Оу, Ог

Ох, Оу, Ог

X=-Y=Z = L = M = N = 0

Неподвижная точка О..........

Ох, Оу, Ог

L=M=N=0

Неподвижная ось Ог..........

N = 0

Тело вращается вокруг оси Ог и скользит вдоль нее ...............

Z = N = 0

Тело покоится на плоскости хОу.

1) одной точкой 0 ..........

Ох, Оу

Ох, Оу, Ог

X=Y=LM=N0

2) несколькими точками на оси Ох . .

Ох, Оу

Ох, Ог

X=Y=L=N=0

3) несколькими точками, не лежащими на прямой ............

Ох, Оу

X=Y=N=0

>

о в >

s >





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 [75] 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037