Главная Промышленная автоматика.

уравнений:

• +к

dfh дх.

=-0,

дА ду.

+ ду,+ --

+h

dfn ду.

- 0,

dfx дг.

(v= 1, 2. ..

., п).

Ofh Oz,

= 0,

Эти уравнения совместно с h уравнениями связей (1) составляют полную систему Зи--А уравнений, определяющих Зл координат и h вспомогательных неизвестных X.

Таковы общие уравнения равновесия.

Как только коэффициенты X будут известны, так сейчас же можно будет определить и реакции связей. В самом деле, мы видим, что уравнения равновесия не изменятся, если отбросить связь = О и присоединить к заданным силам, действующим на точку М„ силу

с проекциями \ , X, , Xj ; эта сила является действием

связи на точку М,, т. е. тем, что мы называем реакцией связи. Мы

непосредственно имеем величину этой силы; ее направление dfx dfx

-j, нормально к поверхности, которая получится, если предположить, что в уравнении /, = О всем координатам, кроме х,, у„ 2,, приданы численные значения, соответствующие положению равновесия, а координаты х„ у„ г, являются текущими.

Пример. Применим предыдущие рассуждения к равновесию веревочного многоугольника с п сторонами, концы которого закреплены в двух заданных точках. Здесь будет п уравнений связи, а именно:

Т (X, -x+iP + Cyv -У.+1Р + (г,-г,+,Я-. = 0 (v = О, 1, 2.....п-\).

причем координаты Xq, уо, Zq и х„, у„, z„ даны. Общие уравнения равновесия будут

Y,JrK-x +К =0.

Они действительно совпадают с теми, которые получатся при помощи элементарных методов, если выразить, что сила F, уравновешивается натяжениями двух нитей, оканчивающихся в точке М,. Так как коэффициенты при X в этих уравнениях равны направляющим косинусам сторон веревочного многоугольника, то эти X являются абсолютными значениями натяжений.



X, + Х,Л,, + Х2Л2, + .. . + ХИй, = О,

К,+ХуВу, + )В2, +----h КВн. = о,

+ hCi, + Х2С2, + . . . + XftCft, = о 2.....л).

179. Приложение принципа возможных скоростей к равновесию нитей. Пусть rfs -элемент нити и Xds, Yds, Zds - проекции равнодействующей приложенных к нему внешних сил. Для возможного перемещения, сообщенного элементу ds, работа этой силы равна

{ХЬх+УЬу + Zb2)ds,

где Ьх, 6у, Ьг должны рассматриваться как функции дуги s, так как каждый элемент нити получает перемещение, изменяющееся с его положением на нити. Для равновесия необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ

§= j (Xbx-JrYby+Zbz)ds о

была равна нулю для всех перемещений, допускаемых связями. Допустим для определенности, что нить закреплена обоими концами; тогда Ьх, Ьу, Ьг обращаются в нуль на обоих пределах интеграла. Так как, кроме того, нить нерастяжима, то

причем последние направлены вдоль сторон. Мы действительно видим, что они нормальны к поверхностям

l(v - .±l) + (У. - 3.±1? + к - v±l)2 = или

где только л:,, у,, г, являются переменными, так как эти поверхности являются сферами с центрами в точках М,+х и iM, i.

178. Случай неголономной системы. Тот же метод применим к такой системе точек, для которой возможные перемещения, допускаемые связями, определяются h соотношениями вида

Аг 81+1181 + Сп Ьг,+.. . +Л,„ Ьх„+В,„ Ьу„-С,„ bz„ = О, ] 1 81+21 Ух + 82,4- • • • +Л» 3x„+S2„ 83;„+Q„ 32„ = О, [

м8х1+5ыЗл+См82,+ . . .+;.„3x„+B„33;„+Q„32„=0,

где коэффициенты А. В, С суть функции координат и где левые части не являются точными полными дифференциалами, как в предыдущем пункте. Мы видим, что по-прежнему к = Ъп--h вариаций 8х,, 1у,, bz, произвольны. Далее, поступая с этими соотношениями (5) так же, как и с соотношениями (3), мы получим уравнения равновесия в виде



откуда, выражая, что вариация левой части равна нулю и замечая, что ва-

dx dbx

риация производной равна производной от вариации, например, ъ - = ,

получим

dx dbx dy dby dz d bz

ds ds

ds ds

ds ds

= 0.

Это условие показывает, что в качестве Ьх и 8у можно принять произвольные функции от S, обращающиеся в нуль на пределах О и /; определяется из соотношения (2):

dx dbx . dy d

dby\ ds )•

ds \ dz ds dz ds Отсюда, интегрируя и замечая, что Ьг обращается в нуль вместе с s, получим

dx dbx dy dby

dz ds

dz ds

Ho необходимо, чтобы 8 обращалось в нуль и на втором конце, где S = /; следовательно, Ьх и 8у должны удовлетворять условию

Лdx dbx , dy dby\

Необходимо теперь выразить, что Ш обращается в нуль, для любых функций Ьх, Ьу, bz, обращающихся в нуль на пределах и удовлетворяющих соотношениям (2) и (3). Обозначим через 1 пока произвольную функцию дуги S и через k - постоянную. Имеем

§= J(XbxYby + Zbz)ds + \{-dbx + dby+dbz.

dx dz

dbx +

Интегрируя последние члены по частям и полагая = ~(x-b"j л можем написать

= J[[xds + d[T-±)]bx +

так как проинтегрированная часть обращается в нуль на пределах.

Для того чтобы было равновесие, необходимо и достаточно, чтобы это выражение сГ было равно нулю, каковы бы ни были функции Ьх, 8у и X от s. Распорядимся функцией 1 так, чтобы обратить в нуль коэффициент при bz. Тогда оставшееся выражение должно обращаться в нуль, каковы бы ни были функции 6х и 8у в промежутке (О, /); для этого необходимо, чтобы





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 [74] 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0041