Главная Промышленная автоматика.

будет в устойчивом положении равновесия, когда будет проходить через другой фокус Fy, как это видно, если взять вторую директрису D\Dy.

Т. Тяжелая, однородная или неоднородная цепочка, концы которой закреплены или могут скользить по неподвижным кривым или поверхностям, занимает положение равновесия, являющееся тем из возможных положений, этой цепочки, при котором высота ее центра тяжести имеет максимум или минимум. Например, из всех однородных кривых заданной длины /, проходящих через две неподвижные точки, та из них, центр тяжести которой занимает самое низкое положение, является найденной ранее (п. 140) цепной линией. Отсюда следует, что если на плоскости взять неподвижную ось Ох и две неподвижные точки А и В, то из всех кривых заданной длины /, лежащих в этой плоскости и проходящих через эти точки, цепная линия опишет при вращении вокруг оси Ох поверхность наименьшей площади. В этом убеждаемся на основании теоремы Гюльдена, так как описанная площадь, равная I-ItzGG, обращается в минимум одновременно с СТО. Можно оставить в стороне условие относительно длины и вновь установить, по крайней мере частично, один полученный ранее результат. Из всех кривых, лежащих в плоскости и проходящих через А к В, та, которая описывает наименьшую площадь, является некоторой цепной линией. В самом деле, пусть С -эта кривая. Она является, в частности, одной из всех кривых такой же длины, что и сама кривая С, описывающих наимень-щую площадь. Следовательно, она действительно является цепной линией, имеющей основание, параллельное оси Ох. Остается среди всего этого бесчисленного множества цепных линий найти ту, которая описывает наименьшую площадь. Последняя, как мы видели (п. 148, пример 1), является той, которая имеет основанием ось Ох.

175. Принцип Торричелли. Мы видели как следствие принципа возможных скоростей, что для нахождения положений равновесия тяжелой

системы достаточно приравнять нулю вариацию высоты центра тяжести. Лагранжу принадлежит важное замечание, что если принять, как и Торричелли, в качестве очевидного принципа это условие равновесия тяжелой системы, то отсюда можно будет вывести принцип возможных скоростей во всей его общности (Аналитическая механика, том I, Статика, отдел I и отдел III, § V). Пусть, в самом деле, имеется система материальных точек Мх, Mi.....Мп, на которые наложены заданные связи и действуют заданные силы Fx, F, Р„ (рис. 120). Рассмотрим определенное положение системы, в котором точки занимают

положения тх, гщ, т„, а силы имеют значения ...../„. На напра-

влении силы вообразим неподвижную точку О, на некотором расстоянии т,0, = г.,. Если сместить бесконечно мало систему из рассматриваемого определенного положения, то точка т., перейдет в и возможная работа силы будет равна -/, 5г,„ так как имеем (п. 84, пример III):

Рис. 120.

= - m,m cos (/,, m,m). Следовательно, сумма возможных работ сил /, будет



А(Хх, У1, Zx, Х2, Уг, 22.....Хп, Уп, 2„) = 0,

hix, yv Zx, Х2, У2, 22.....Хп, Уп, 2„) = 0,

/а {Хх, Уи Zx, Ха, Уг, z, .... х„, у, 2„) = 0.

Требуется доказать, что необходимым и достаточным условием того, что рассматриваемое частное положение представляет положение равновесия, является равенство нулю величины

Для этого заметим, что мы можем заменить действие силы натяжением нерастяжимой нити, закрепленной в точке т„ проходящей через бесконечно малый блок О, и несущей натягивающий груз равный Если мы проделаем эту операцию с каждой из сил то мы заменим предложенную систему тяжелой системой и первоначальная система будет служить лишь для нахождения соотношений между грузами Тяжелая система может находиться или не находиться в равновесии в том же самом положении. Но для того, чтобы тяжелая система находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы вариация К ординаты центра тяжести грузов равнялась нулю; эта вариация определяется формулой

Pbi: = pibzi+P2bz2+ ... +Pnbz„

где ось Z направлена вертикально вниз, Р - общий вес и Zy, Zg., z„ координаты центров тяжести грузов р, р, р„. Очевидно, что Зг, = -6г,„ так как нить т.,0р., имеет постоянную длину. Следовательно, имеем

так как = Для того чтобы первоначальная система была в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы 8 = О, т. е. чтобы для любого перемещения, допускаемого связями, обращалась в нуль величина Г, что и представляет принцип возможных скоростей во всей его общности.

Примечание. Если материальной системе с нитями и с грузами />], ро, ..., Рп придать какое-нибудь положение, отличное от рассматриваемого

частного, то заданными силами будут Fy, Fo,.....Fn, а натяжения нитей МуОу,

Мо(}%, равные рх, Pi.....Рп, будут отличаться и по величине и по направлению от сил Fy, Fo, Fn- Однако в рассматриваемом частном положении гпх, «2, гпп заданные силы равны натяжениям, так что если это положение является положением равновесия системы под действием заданных сил, то оно будет положением равновесия и под действием натяжений. Но так как для положения, даже бесконечно близкого к /Пх, т, ..., т„, силы F., отличаются от натяжений, то может случиться, что это положение равновесия системы будет устойчивым под действием заданных сил и неустойчивым под действием грузов р,.

В упражнениях (6) будут указаны некоторые свойства положений равновесия системы, аналогичные только что подробно изложенным, в частности свойство, указанное Гауссом и Мёбиусом, относительно минимума суммы квадратов.

IV. Множители Лагранжа

176. Уравнения связей. Пусть дана система, образованная п точками

Ух, Zx), М2(Х2, Уг, 22)..... Mnix

п> Уп, п)

и подчиненная связям, выражаемым соотношениями между их координатами вида



Эти h соотношений между Зл вариациями координат показывают, что k из этих вариаций могут быть выбраны произвольно. Назовем эти вариации независимыми вариациями, а остальные, определяемые уравнениями (3),-зависимыми вариациями.

Для нахождения условий равновесия применим метод множителей Лагранжа. Умножим уравнения (3) соответственно на неопределенные

множители 1,, I2.....и сложим их с уравнением (2); после этого

определим множители таким образом, чтобы в полученной сумме обратить в нуль коэффициенты при h зависимых вариациях; тогда коэффициенты при независимых вариациях должны также обратиться в нуль; в результате требуется- определить X таким образом, чтобы обращались в нуль все коэффициенты, и мы получаем Зл совместных

Число h этих уравнений должно быть меньше числа Ъп координат, ибо если бы оно равнялось Зл, то все Зл координат определялись бы этими уравнениями. Положим поэтому,

А = 3л - k.

Такая система будет голономной, так как при помоши равенств (1) можно выразить все координаты в функциях подходящим образом выбранных из них k координат. Система" имеет, следовательно, k степеней свободы. В случае, когда k=\, система будет с полными связями, так как ее положение зависит только от одного параметра, например, от одной подходящим образом выбранной координаты.

Обозначим через F,,(X,, Y„, Z,) равнодействующую заданных сил, действующих на точку М„. Тогда на основании принципа возможных скоростей имеем уравнение

2 (Х, Ьх, 4- К, Ьу, + Z, 82J = О, (2)

v = l

которое должно выполняться для всех перемещений 8х,, 8 у,, 82,, допускаемых связями.

177. Множители Лагранжа. Перемещения точек М связаны к соотношениями, которые получаются дифференцированием уравнений (1), а именно:





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 [73] 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037