Главная Промышленная автоматика.

то ОНО примет вид

QiS9i + Q2892+ ••• +Qfc8fc=-0. (3)

в котором

Qi= SCvflvi+Jvi+Z.Ai).

Так как уравнение (3) должно выполняться при любых 8,, .....3, то должно быть одновременно

Qi = 0, Q2=0..... Qi=0. (4)

Таким образом, получились k необходимых и достаточных уравнений равновесия. Число этих уравнений в точности равно числу степеней свободы системы.

172. Голономные системы; координаты голономной системы. Говорят, согласно Герцу (Oeuvres completes, т. Ill), что система с k степенями свободы является голономной, когда существует такая система параметров q, q,..., q, что координаты х, 2, различных точек системы выражаются в функции этих параметров е конечной форме

= tPv 92.....Як)

У. = (Яи Яг.....Як),

Z, = u>v{Яи Я2, Як), 1,2.....п).

Параметры qi, 2.....Як будут тогда координатами голономной

системы; их численные значения определяют положение системы. Для получения возможного перемещения, допускаемого связями, достаточно дать этим параметрам произвольные бесконечномалые

приращения од 82.....3;. Таким путем на основании равенств (5)

получится

дх..

§92 +

+ Як,

82.-89,4-7892 +

Як ду. дЯк дг дЧк

bqji, Цк-

dq - ддч

Эти формулы являются частными случаями выражений (2), поскольку правые части выражений, написанных для 8л:,, 8 у,, 82,, являются полными дифференциалами функций от q, q, ..., 9, что не имеет места в общем случае (2).

Подставляя выражения (6) в основное уравнение статики (1), мы получим уравнения равновесия в форме

Qi = 0, Q2==0..... Qft=.0, (7)



В которых

Большинство систем, встречающихся в приложениях, являются голономными. Например, твердое тело, которое вращается вокруг оси и скользит вдоль нее. является голономной системой, так как его положение зависит от двух координат: угла; на который оно повернулось от некоторого начального положения, и длины, на которую оно совершило скольжение от этого положения.

Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки, является голономной системой, так как положение тела определяется тремя координатами, которыми могут быть, например, углы Эйлера, между осями, связанными с телом, и осями неподвижными.

Напротив, окружность, катящаяся без скольжения по неподвижной плоскости (обруч), не представляет собою голономной системы. Это вытекает из того, что обруч обладает тремя степенями свободы (п. 171) и в то же время его положение на плоскости, по которой оно катится, не может быть определено тремя координатами. Уже Лагранж рассматривал неголономные системы в своей Аналитической механике (раздел IV. п. 2, т. I. изд. Бертрана).

173. Частный случай, когда выражение возможной работы есть полный дифференциал. Полученные выше общие результаты принимают интересную форму, когда выражение возможной работы

q1891+q2892+ ••• +Qft§&.

где Qi, q2.....Qk суть функции параметров д, является полным

дифференциалом некоторой функции U от параметров д,, д.....д,

т. е. когда

dq, 2-.....

В этом случае дифференциальные уравнения равновесия совпадают с уравнениями, определяющими максимум и минимум функции U. Мы покажем в динамике, что если для определенной системы значений величин д эта функция U действительно имеет максимум, то соответствующее положение равновесия является положением устойчивого равновесия (Лежен-Дирихле).

Случай существования силовой функции, т. е. случай, когда выражение

является полным дифференциалом некоторой функции от величин х,, у,, Х2, У2. Z2.....х„, у„, z„, относится к только что рассмотренному, так как если заменить координаты и дифференциалы коор-



динат их выражениями через q и Iq, то рассматриваемая сумма останется полным дифференциалом. Но обратное, вообще говоря, неверно: может случиться, что Qi--+ ••• ~\~QitQit будет полным дифференциалом и в случае отсутствия силовой функции.

174. Приложения. Тяжелые системы. Когда система, для которой ищутся положения равновесия, находится под действием только сил тяжести, являющихся непосредственно приложенными силами, то, очевидно, существует силовая функция непосредственно приложенных сил. В самом деле, полагая, что ось Oz направлена вертикально вниз, получим для точки OTj, имеющей вес mig. возможную работу, равную m-igbzi. Следовательно, для суммы возможных работ получится

gmibzi=gMb-.

где С-ордината центра тяжести. Тогда положениями равновесия будут те, для которых Ь равно нулю. Они совпадают с теми положениями, которые получаются при нахождении максимума или минимума координаты С, рассматриваемой как функция от k геометрически независимых параметров д, q, , qw определяющих положение системы.

Приме р ы. 1°. Найдем положение равновесия однородного тяжелого стержня АВ (рис. 119), скользящего без трения своими концами по коническому сечению, фокальная ось которого вертикальна (система с одной степенью свободы). Прежде всего очевидными положениями равновесия, если только они возможны, будут горизонтальные положения. Для нахождения остальных поло-

Д S В

Рис. 119.

женин равновесия рассмотрим директрису DD и пусть АА и ВВ - расстояния от точек j4 и В до этой директрисы. Расстояние прямой DD от центра тяжести G, находящегося на середине стержня АВ, равно

Но если е - эксцентриситет и F - фокус, соответствующий директрисе DD, то, как известно, АА и ВВ равны соответственно ~ AF-А ~ВР, откуда получаем

ПСУ- AF+BF 2е

Следовательно, расстояние GG будет максимумом или минимумом одновременно с AF -f BF, а последняя сумма будет, очевидно, минимумом, когда прямая АВ проходит через фокус F. Таким образом, если прямая может проходить через фокус, то каждое ее положение является положением равновесия. В случае, показанном на фигуре, когда прямая проходит через F, она будет находиться в неустойчивом положении равновесия, так как в этом положении ее центр тяжести будет выше, чем в соседних положениях. Она





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 [72] 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037