Главная Промышленная автоматика.


Рис. 117.

находящемуся в точке С, Ft - проекция этой силы на касательную к кривой в точке С в направлении АВ. Сообщим системе единственно возможное перемещение, допускаемое связями, при котором вся цепь целиком, а вследствие этого и каждый ее элемент, скользит вдоль кривой на общую величину СС, равную йа (рис. 117). Возможная работа силы F равна Ffba; приравнивая сумму этих работ нулю и замечая, что 8а может быть выведено из суммы

в качестве общего множителя, получим условие равновесия

Это условие достаточно, если предположить, что цепь во всех точках растянута, а не сжата. Например, если на цепь не действуют никакие силы, кроме двух сил Р и R. приложенных к концам, то условие равновесия будет

Я* + Р* = 0.

8°. Равновесие несжимаемой жидкости в очень узкой трубке. Уже Галилей пользовался принципом возможных скоростей для доказательства основных теорем гидростатики. Декарт и Паскаль также пользовались этим принципом для изучения движения жидкостей. Для того чтобы можно было приложить принцип возможных скоростей к жидкости, пренебрегая работой внутренних сил, необходимо, чтобы работа внутренних сил жидкости или реакций связей равнялась нулю при любом возможном перемещении, допускаемом связями, т. е. чтобы соседние молекулы оставались на постоянных расстояниях (несжимаемая жидкость) и чтобы не было внутренних трений (идеальная жидкость). Мы о позаимствуем пример у Лагранжа \ /? (Статика, раздел 7).

Рассмотрим несжимаемую жидкость, заключенную в бесконечно тонкой трубке заданной формы, поперечное .сечение которой о) изменяется по Заданному закону. Для большей точности можно себе представить, что трубка образована перемещающимся бесконечно малым плоским элементом, остающимся все

время нормальным к заданной кривой S (рис. 118). Пусть А и жидкой колонки, удерживаемой двумя бесконечно малыми d,m - элемент этой колонки в положении С, где


Рис. 118.

В - концы поршнями, поперечное сечение равно (0. Обозначим через F силу, приложенную к элементу dm, и через Ft- ее проекцию на касательную к кривой 5 в направлении АВ, т. е. на нормаль к «. Сообщим жидкости единственно возможное для нее перемещение, допускаемое связями, перемещение, при котором вся колонка совершает скольжение как целое на бесконечно малую величину. При этом скольжении элемент dm, находящийся в С, описывает по кривой S дугу Es, так что о> bs равно количеству жидкости, проходящей через сечение ш трубки. Вследствие несжимаемости жидкости необходимо, чтобы это количество было всюду одинаковым. Можно положить ш Bs = а, где а - одинаково на всем протяжении

трубки. Работа F равна тогда F hs или Ft, и сумма возможных работ



непосредственно приложенных сил равна Следовательно, необходи-

мое и достаточное условие равновесия будет

предполагая, что колонка сжата во всех своих точках.

Например, если единственными силами, приложенными к жидкости, являются нормальные давления Pq и Ру, приложенные к поршням А и В с сечениями a>q и шу, то условие равновесия будет

- = 0.

"о "I

Примечание. К этому же самому уравнению равновесия жидкости можно прийти при следующих условиях. Представим себе замкнутый сосуд произвольной формы, из которого выведены две цилиндрические трубки А и В с сечениями и т. Допустим, что сосуд заполнен жи дкостью, на которую не действуют никакие непосредственно приложенные силы, и что трубки закрыты двумя поршнями А и В, которые действуют нормальные давления Pq и Р,. Если поршень А вдвинуть на бесконечно малую величину eq. то внутренний объем уменьшится на ео"о; необходимо, следовательно, чтобы поршень В поднялся на такую величину ej, что eDmo = e[mi. Так как сумма возможных работ Pq и Ру, очевидно, равна PqBq - Pi-i, то имеем уравнение равновесия

00 - -Pii = О, PqOi - Pi «о = 0. На этой зависимости основано устройство гидравлического.пресса.

111. Общие условия равновесия, выводимые из принципа возможных скоростей

170. Основное уравнение статики. Мы будем следовать методу, указанному Лагранжем. Пусть задана система, образованная л точками

MiiXy. Уу, Zy), М2ах2, У, 22)----, M„(x„, Уп. 2„)

и подчиненная связям, выражаемым такими равенствами, какие ра-с-сматривались в предыдущем-.

Обозначим через Р{Х, V,, равнодействующую заданных сил, действующих на точку М.,. На основании принципа возможных скоростей составляем уравнение

v = l

которое должно удовлетворяться для всех перемещений 8х„ о у,, 82,, допускаемых связями. Можно сказать, что это уравнение является общим уравнением статики.

171. Приведение уравнений равновесия к наименьшему числу. В каждой частной системе для получения наиболее общего возможного перемещения, допускаемого связями, необходимо и достаточно



bxi =

• H-flifc89fc,

Ьу,=

1 4+2 82+ •

• +ifc89fe.

82,=

Си 81 4-,2892+ •

8х.=

0,1891 + 0,2892+ •

+avfc89fc.

vi89, +282+ •

• H-vfc89fc,

82,=

Cvi 89, + С,2 82 + •

• +Cvft89fc,

Если внести эти выражения в основное уравнение статики 2(x,8x,+ K,83;, + Z, 82,) =0.

сообщить k параметрам д,, д, . . ., д произвольные вариации oj, 82, • • • > Ъдц. Тогда говорят, что рассматриваемая система имеет k степеней свободы.

Например, для получения наиболее общего перемещения точки по поверхности (п. 159) необходимо и достаточно сообщить двум параметрам произвольные вариации Ъд, и Ьд, следовательно, точка на поверхности является системой с двумя степенями свободы.

Для получения наиболее общего перемещения свободного твердого тела достаточно сообщить ему три произвольных бесконечно малых поступательных перемещения, параллельных трем осям координат, и повернуть его на три произвольных бесконечно малых угла вокруг этих трех осей. Следовательно, свободное твердое тело является системой с шестью степенями свободы.

Возьмем еще систему, образованную твердой материальной окружностью, которая катится без скольжения по неподвижной плоскости Р (обруч). Для выражения связи нужно написать, что скорость материальной точки, находящейся в соприкосновении, равна нулю. Следовательно, для того чтобы сообщить обручу перемещение, допускаемое связью, необходимо и достаточно сообщить ему вращение на бесконечно малый угол вокруг произвольной оси, проходящей через точку касания. Но это элементарное вращение может быть всегда разложено на три: одно Ъд, вокруг нормали к неподвижной плоскости в точке касания А, другое вокруг касательной к обручу в точке А, и третье Ьд вокруг нормали к обручу, проведенной в точке А в неподвижной плоскости. Следовательно, обруч образует систему с тремя степенями свободы.

Вернемся к общему случаю системы с k степенями свободы. Так как, по предположению, перемещение системы определяется бесконечно малыми вариациями Ъд,, Ьд,..., Ьд, то вариации Ьх,, Ьу,, Ьг,, 8x2, Ьу2, 822, ... координат различных точек системы будут определенными, если известны Ьд,, 82, • • •, 89. Для этих вариаций должны иметь место выражения вида





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 [71] 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0038