Главная Промышленная автоматика.

то реакция Р кривой приложена к материальной точке М колеса, находящейся в соприкосновении с кривой; после промежутка времени 8 колесо примет бесконечно близкое положение, в соприкосновении будет новая точка колеса и реакция Р, будет приложена в точке Му, что касается материальной точки М, находившейся в соприкосновении первоначально, то она займет положение М. В выражение работы силы входит именно перемещение ММ и ско-ММ ,

рость - (эта скорость равна нулю вследствие качения) материальной точки М, а не переме-

щение тМу и скорость -

геометрической точки приложения этой силы.

167. О связях, осуществляемых при помощи тел, не имеющих массы. Иногда бывает, что в системе, движущейся или находящейся в равновесии, имеются тела, массами которых, по сравнению с массами других тел системы, пренебрегают и считают эти тела лишенными массы. Это предположение можно осуществить, выразив, что силы, приложенные к телу без массы, находятся в равновесии. В самом деле, уравнения движения точки имеют вид


Рис. 109.

т -ris- = Z,

где X, Y, Z - проекции равнодействующей всех сил, приложенных к точке. Если точка т принадлежит движущейся системе, то ее ускорение конечно и, следовательно, если она имеет очень малую массу, то величины X, Y, Z будут также малыми. Если предположить, что tn=Q, то и X, Y, Z должны быть равны нулю и силы, приложенные к точке, уравновешиваются. Если теперь вообразить систему без массы, то масса каждой точки системы будет равна нулю, все приложенные к этой точке силы будут находиться в равновесии и, следовательно, совокупность всех приложенных к системе сил будет тоже находиться в равновесии.

Если, например, две точки М и М связаны между собой при помощи твердого стержня, не имеющего массы, то действия стержня на обе точки выражаются двумя равными и прямо противоположными силами F и F. В самом деле, если действие стержня на точку М есть F, то действие точки М на стержень есть -F; точно так же действие точки М на стержень есть -F. Следовательно, силы, действующие на стержень суть F и -F и так как они уравновешиваются, то они равны и прямо противоположны. Мы снова приходим таким образом к связи, разобранной ранее (п. 161).



Рассмотрим еще две материальные точки М и М, связанные нерастяжимой нитью, не имеющей массы и лежащей на неподвижной или движущейся поверхности 5, по которой она может скользить без трения. Пусть Т и Т-действия, оказываемые нитью наточки М и М и, следовательно, -Т и -Т действия, оказываемые на нить этими точками. На нить действуют: на концах силы -Т и -Т, а на часть, соприкасающуюся с поверхностью 5,-нормальные силы, вызванные реакцией поверхности. Так как нить должна быть в равновесии, то ее натяжение везде одинаково и она должна расположиться по геодезической линии поверхности (п. 144); в частности и Т = Т. Этот род связи встречается среди разобранных выще (п. 163); он приводит к некоторым геометрическим следствиям, которые мы укажем в качестве упражнений в конце главы (упражнения I и 2).

II. Первые примеры. Системы с полными связями. Простые машины

168. Системы с полными связями. Говорят, что система материальных точек является системой с полными связями (с одной степенью свободы), если ее положение зависит только от одного параметра. В такой системе каждая точка описывает определенную неподвижную кривую и положение одной точки на траектории определяет положение всех остальных точек. Например, твердое тело, вращающееся вокруг оси, является системой с полными связями: положение тела зависит только от угла, на который оно повернулось от начального положения. Каждая точка тела описывает окружность, перпендикулярную к оси вращения, с центром на этой оси; положение одной из этих точек определяет положение всех остальных. Винт, движущийся в неподвижной гайке, цепь, скользящая по неподвижной кривой, являются системами с полными связями.

Эти системы являются наиболее простыми из всех, так как им можно сообщить только одно возможное перемещение, допускаемое связями, а именно то, которое получится, если бесконечно мало изменить единственный параметр, определяющий положение системы. Следовательно, существует только одно условие равновесия такой системы.

169. Простые машины. Простые машины являются системами с полными связями. На машины действуют две силы: одна Р, называемая движущей силой, и другая R, называемая сопротивлением. Для нахождения условия равновесия машине сообщают единственное бесконечно малое возможное перемещение, допускаемое связями. Пусть в этом перемещении SP- проекция на направление Р перемещения АА точки А приложения движущей силы, а ЗР - проекция на Р перемещения ВВ точки В приложения сопротивления (рис. ПО). Тогда условие равновесия будет

Р SP + Р 5Р = 0.



Вводя вместо перемещений возможные скорости, получим условие

где f/p - проекция на Р возможной скорости U точки Л и Уд - проекция на R возможной скорости V точки В. Следовательно, при

равновесии движущая сила и сопротивление находятся в отношении, обратном отношению проекций возможных скоростей точек приложения этих сил на направления сил. Это - то, что Галилей высказал в следующей форме: «То, что выигрывается в силе, теряется в скорости».

Рис. 110. 1°. Клановый пресс. Клин есть

равнобедренная треугольная призма, зажатая между двумя толстыми досками, из которых одна неподвижна, а другая перемещается горизонтально. Движущей силой является вертикальное давление, действующее на основание клина, которое предполагается горизонтальным. Сопротивлением является горизонтальная сила R, противо-



действующая перемещению горизонтальной подвижной доски. Рассмотрим возможное перемещение, при котором клин переходит из ABC в АВС, (рис. 111) опускаясь при этом на

ВН=ЬР.

Перемещение bR равно /В со знаком минус, т. е. если угол С равен 2а, то

8/? = - 257? tg а = - 28Я tg а. Следовательно, условие равновесия будет

Я5Я-2PtgaSP = 0

Я = 2Р tga.

Применение клина тем выгоднее, чем меньше угол.

2°. Винтовой пресс. Допустим, что движущей силой является сила Р, перпендикулярная оси Вг винта (рис. 112) и приложенная в точке А на расстоя-





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 [69] 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0039