Главная Промышленная автоматика.


проекции ОДНОГО вектбра V на два прямо противоположных на~ правления n и n; следовательно,

и работа оГ равна нулю.

в) Допустим, наконец, что какое-то твердое тело системы ограничено поверхностью S (рис. 108), которая катится и вертится по некоторой поверхности S\ являющейся частью тела, также принадлежащего системе. Взаимное действие двух поверхностей S и 5 в их точке касания не будет больше нормальным к общей касательной плоскости, так как оно препятствует скольжению. Пусть MP - действие поверхности S на поверхность S, приложенное в точке касания М, принадлежащей поверхности 5, а МР - реакция поверхности S на поверхность S, приложенная в точке касания, принадлежащей поверхности 5. Эти две силы равны и противоположны. Сообщим системе перемещение, допускаемое связями. Рис. 108.

т. е. такое, при котором S и S перемещаются и S катится по S. Пусть, как и раньше, V и V - возможные скорости точек М и М, V и Vp- - их проекции соответ- ственно на MP и МР. Сумма возможных работ обеих реакций связи Р и Р равна

§ = 5 (Р1/+Pv;,) = pit ivv).

Так как движение S относительно S является качением и верчением, то относительная скорость точки М относительно S равна нулю; переносная скорость точки М так же, как и раньше,, равна скорости V точки М и общая формула

(-(Ve)-+-(K,)

принимает вид

{У){У\

Так как обе скорости V » V равны, то их проекции и К, на два противоположных направления равны по величине и обратны по знаку. Поэтому работа IT равна нулю.

163. Сочетания предыдущих связей. Связи, осуществляемые в машинах, являются сочетаниями предыдущих. Так, легко включить в число связей, рассмотренных выше, связи, осуществляемые при помощи нитей или цепей. Вообразим, например, что две точки М и Ml системы связаны между собой нерастяжимой цепью, протянутой частью своей длины по некоторой поверхности 5, по которой она может скользить без трения, причем эта поверхность 5 либо неподвижна, либо движется. Эта связь является сочетанием.



*) В оригинале «связи без трения». Термин «идеальные связи» в оригинале не применяется. (Прим. перев.)

предыдущих; звенья цепи являются твердыми телами; каждое из них сочленено со следующим в точке или вдоль оси; те из них, которые находятся в соприкосновении с поверхностью, скользят без трения по поверхности S. Одна из точек, например М,, могла бы, сверх того, быть неизменно связанной с поверхностью 5: это было бы еще одной связью, рассмотренной выше. К такого рода связям относятся, в частности, связи, осуществляемые при помощи блоков.

164. Общее определение идеальных связей*). Мы видели, что в случаях наиболее простых связей и их сочетаний сумма возможных работ реакций связей равна нулю на любом возможном перемещении, допускаемом связями, если только отсутствует трение. Для связей более сложной природы, например, для связей, выражаемых уравнениями, это свойство принимается как определение самого понятия отсутствия трения; связи будут без трения, или идеальными, если на любом допускаемом ими перемещении сумма работ реакций связей равна нулю.

165. Доказательство принципа. Рассмотрим систему материальных точек Му, М2..... Л1„, подчиненных заданным связям и находящихся под действием непосредственно приложенных сил. Обозначим через х„ 3/,. 2, координаты какой-нибудь из этих точек Ж, и через „ К„ - проекции равнодействующей непосредственно приложенных к ней сил.

Мы хотим доказать следующее предложение: для того, чтобы система в каком-нибудь положении была в равновесии, необходимо и -достаточно, чтобы при сообш,ении системе произвольного возможного перемещения, допускаемого связями, сумма возможных работ непосредственно приложенных сил равнялась нулю.

Это условие необходимо. Действительно, если равновесие имеет место, то каждая точка Ж, находится в равновесии под действием всех приложенных к ней сил как заданных, так и реакций связей. Более точно можно рассматривать эту точку как свободную при

условии приложения к ней некоторых сил F[, F".....вызванных

связями. Точка будет тогда находиться в равновесии под действием заданных сил, имеющих равнодействующую F,, и реакций связей F, F" ... Для произвольного возможного перемещения, сообщенного этой точке, сумма работ всех этих сил равна нулю. То же самое справедливо для любой точки системы, и поэтому если всем точкам системы сообщить произвольные перемещения, допускаемые или не-допускаемые связями, то сумма работ всех сил как заданных, так и реакций связей будет равна нулю:



FMMcos(F, ММ), FVcos(F, V)bt

MM и V обозначают бесконечно малое перемещение и скорость материальной точки, к которой приложена сила, а не перемещение и скорость геометрической точки приложения силы. Например, если колесо катится по неподвижной кривой С (рис. 109),

Здесь §d - сумма работ заданных сил, а §l - сумма работ реакций связей. Но если перемещения допускаются связями, то на основании предыдущей леммы §l равна нулю и, следовательно, также

Условие является и достаточным. Если для всех перемещений, допускаемых связями, сумма работ заданных сил равна нулю, то система находится в равновесии. Для доказательства нам достаточно показать, что если система не находится в равновесии, то существует, по крайней мере, одно перемещение, допускаемое связями, для которого Ш-о отлично от нуля. Действительно, если система не находится в равновесии и предоставлена самой себе, то она начнет двигаться. Перемещения, которые при этом получат точки, будут допускаемые связями и каждая точка Ж,, рассматриваемая как свободная, переместится в направлении равнодействующей всех действующих на нее сил F, F[, F", ... как заданных, так и

реакций связей. В этом действительном перемещении все начальные скорости равны нулю; но мы можем сообщить системе возможное перемещение, при котором каждая точка перемещается в том же направлении, что и при действительном перемещении, но при котором не все возможные скорости точек Ж, равны нулю. Тогда сумма работ сил F, F[, F", равная работе их равнодействующей, будет положительной, так как перемещение происходит в направлении этой равнодействующей. Так как то же самое имеет место д.ля каждой точки системы, то сумма Sd-\-Sl работ заданных сил и реакций связей для рассматриваемого перемещения будет положительной, отличной от нуля. Но это перемещение допускается связями. Следовательно, §i, равно нулю и мы получаем

$d>0.

Отсюда следует, что если для всех перемещений, допускаемых связями, Sj) равно нулю, то равновесие будет иметь место.

166, Замечание о работе силы. Произведенный нами анализ различных возможных связей выдвигает со всей очевидностью один вопрос, на котором не бесполезно остановиться. Речь идет о том, что при вычислении элементарной работы силы, как возможной так и действительной, не следует смешивать материальную точку, к которой приложена сила, с геометрической точкой ее приложения.

В выражениях элементарной работы





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 [68] 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0036