Главная Промышленная автоматика.

Если тело находится в равновесии, то коэффициенты при шести произвольных величинах равны нулю и мы действительно имеем

S==0

для любого перемещения, допускаемого связями, и, наоборот, если оГ равно нулю, каковы бы ни были эти произвольные величины, то необходимо, чтобы коэффициенты равнялись нулю, т. е. чтобы выполнялись условия равновесия.

Вне зависимости от того, находится ли тело в равновесии или нет, сумма работ реакций связей, которые являются здесь силами взаимодействия между точками системы, равна нулю для любого перемещения, допускаемого связями. В самом деле, пусть и М2 - две точки тела, находящиеся на расстоянии г друг от друга. Точка Му оказывает на точку М2 какое-то действие F,, направленное по МуМ2, а точка Alg согласно закону равенства действия и противодействия оказывает на точку равное и прямо противоположное действие F2 (п. 88, рис. 62). Эти две силы являются реакциями связи, вызванными взаимодействием обеих точек и М2, связанных между собой так, что они остаются на неизменном расстоянии друг от друга. Для того чтобы осуществить эту связь, можно вообразить, что обе точки связаны между собой твердым стержнем, лишенным массы. Условимся, как и раньше, называть алгебраическим значением силы F взаимодействия обеих точек абсолютное значение этого действия, взятое со знаком -(- или - в зависимости от того, отталкиваются точки или притягиваются. Для произвольного возможного перемещения, сообщенного обеим точкам, сумма работ обеих сил равна (п. 88)

Fbr.

Если возможные перемещения, сообщенные обеим точкам, допускаются наложенной на них связью, согласно которой расстояние г между ними должно оставаться постоянным, то 5г -О и сумма работ реакций связи равна нулю. То же самое имеет место для всех взаимных действий попарно взятых точек тела, что и доказывает высказанное предложение.

162. Лемма. Замечания, сделанные в трех рассмотренных примерах, мы возведем сейчас в общее правило и докажем следующую лемму.

Независимо от того, будет ли система материальных точек находиться в равновесии или нет, сумма возможных работ реакций связей на любом возможном перемещении, допускаемом связями, равна нулю. При этом является существенным предположение, что трения нет.

Достаточно, очевидно, доказать эту лемму для каждой связи системы и поэтому мы переходим к обзору различных видов связей. Мы разобьем их на две категории:




1) связи тел системы с другими неподвижными телами;

2) связи тел системы между собой.

Первая категория, а) Наиболее простым является случай, когда твердое тело имеет неподвижную точку; единственно возможным перемещением будет вращение вокруг этой точки; работа реакции связи или реакции неподвижной точки будет равна нулю, так как ее точка приложения при таком движении тела не перемещается. То же самое будет иметь место и в случае, когда тело имеет две неподвижные точки, т. е. вращается вокруг неподвижной оси.

б) Допустим, что какая-нибудь поверхность S, связанная с каким-нибудь телом системы, скользит без трения по какой-нибудь неподвижной поверхности 5. Реакцией связи будет нормальная реакция MN этой поверхности S на S (рис. 106); ее точкой приложения является точка М поверхности S, находящаяся в соприкосновении с S. Так как перемещение этой точки должно находиться в общей касательной плоскости поверхностей S и S, то работа в;: нормальной реакции равна нулю. Одна из обеих поверхностей S или S может

вырождаться в линию и.ти в точку.

в) Допустим, наконец, что поверхность S, связанная с каким-нибудь твердым телом системы, катится и вертится без скольжения по неподвижной поверхности S (п. 57). Реакция MP поверхности S на S (рис. 106) по-прежнему приложена в точке М поверхности S, находящейся в соприкосновении, но эта реакция не будет больше нормальной, так как связь между 5 и S противодействует скольжению. Сообщим системе перемещение, допускаемое рассматриваемой связью, т. е. сообщим поверхности S качение и верчение по поверхности S, и пусть -возможная скорость точки М. Возможная работа силы Р будет при этом PVcosiP, Vr)bt. Эта работа равна нулю, так как при скольжении и верчении скорость Vr точки соприкосновения М равна нулю.

Наиболее простым примером такого рода связи будет следующий.

Колесо S, оставаясь в неподвижной плоскости, катится без скольжения по неподвижной кривой S (рис. 106). Эту связь можно осуществить, снабдив колесо и кривую бесконечно малыми зубцами, находящимися в зацеплении друг с другом, или закрепив лишенную массы нерастяжимую нить в какой-нибудь точке А окружности колеса и протянув ее по окружности до точки касания М и далее по кривой S до некоторой неподвижной точки В, где она должна быть закреплена.

Вторая категория, а) Пусть сначала два движущихся твердых тела сочленены в точке О. Реакциями связи будут равные и прямо противоположные реакции Р и Р обоих тел. Так как их точки



приложения совпадают при всех допускаемых перемещениях, то сумма возможных работ этих двух сил равна нулю. То же самое будет, справедливо, если оба тела должны все время иметь больше двух общих точек, например если они связаны шарниром.

б) Рассмотрим теперь две поверхности, связанные с телами системы, обе находящиеся в движении и вынужденные скользить без трения одна по другой (рис. 107). Реакции связей, являющиеся реакциями N и N

этих поверхностей, равны, противоположно направлены и нормальны к общей касательной плоскости в точке касания. Пусть V и V - возможные скорости точек М п М поверхно-


стей S и S, находящихся в рассматриваемый момент в соприкосновении. Эти -у} скорости не будут одинаковыми, так как можно, например, получить перемещение, допускаемое связями, если одну поверхность закрепить неподвижно, а Рис. 107. другую заставить скользить по ней.

Обозначая через V„ и 1/, проекции соответствующих возможных скоростей 1/ и V на /V и Л/, получим следующее выражение для полной возможной работы

§ = 8 {NVn + NY) = Nbt (Vn + V,),

Так как движением поверхности S относительно поверхности S является скольжение, то относительная скорость точки М по отношению к поверхности S лежит в общей касательной плоскости, и для абсолютной скорости точки М получаем

(V) = iV +

где Vg - переносная скорость точки М. Эта переносная скорость Vg является, по определению, скоростью точки системы отсчета S, совпадающей с точкой Л1, т. е. скоростью V точки М. Следовательно, имеем

(V) (!/) +(V,).

и, проектируя на направление NN, получим

так как V лежит в касательной плоскости и ее проекция равна нулю. Но V==-V,, так как обе эти величины обозначают





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 [67] 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.005