Главная Промышленная автоматика.

при единственном условии, что приращение Ьх должно быть связано с произвольными приращениями 8; и 82 соотношением

которое выражает, что перемещение ММ происходит по заданной поверхности. Умножим это уравнение на X и сложим с предыдущим. Получим

(.V+X*)o.+(K + xf)s+(z + xV)8, = 0.

каковы бы ни были X, 8;, 82. Выберем X так, чтобы обратить в нуль первый коэффициент. Тогда, так как Ьу и 82 произвольны, их коэффициенты должны тождественно равняться нулю. Таким образом, получим одновременно:

Это - действительно уравнения равновесия, полученные нами ранее другим путем (п. 91). Сила, вызванная связью, является нормальной реакцией N поверхности, и написанные уравнения равновесия показывают, что точка М, предполагаемая совершенно свободной, находится в равновесии под одновременным действием заданной силы и

силы, имеющей проекции Х-, Х"- Отсюда следует, что

эта последняя сила представляет собой не что иное, как нормальную реакцию. Эта реакция называется реакцией связи; она происходит от связи, наложенной на точку.

Если поверхность задана в форме

X == 9 92). .У = Ф (Яи Яг), 2=0) 92).

то для всех вариаций S и Ьдч величин и 2 перемещение 8х, Ьу, bz, определяемое этими уравнениями, будет происходить по поверхности. Возможная работа

8x--K8;;H-Z82 для такого рода перемещения примет вид

и условия равновесия будут те же, что и полученные ранее:

Qi = 0, Q2=0.

Примечание. Во всех случаях, независимо от того, будет ли точка находиться в равновесии или нет, для любого возможного перемещения, допускаемого связью, работа реакции связи, т. е. нормальной реакции, равна нулю.



df дх

dfx дх

- 0,

df ду -

dA ду

- 0,

Z-I-X

df dz

dA dz

= 0.

Эти уравнения выражают, что существует равновесие между непосредственно приложенной силой и силой, имеющей проекции

д/ , . д/, I df . df, .df df. Эта сила является нормальной реакцией связи.

160. Точка на кривой. Если материальная точка вынуждена оставаться на неподвижной кривой

fix, у, 2) = О, Л(х. у, 2) = О,

то единственным перемещением, допускаемым этой связью, будет перемещение по кривой. Непосредственно видно, что если имеет место равновесие, то работа заданной силы на возможном перемещении равна нулю, так как сила нормальна к кривой, и, наоборот, если работа на возможном перемещении равна нулю, то сила либо равна нулю, либо нормальна к перемещению, причем в обоих случаях имеет место равновесие. Выведем отсюда уравнения равновесия, которые уже были получены нами ранее (п. 92). Мы должны иметь

S~Xbx+Yly~\-Zlz=0

для всех перемещений, допускаемых связями, т. е. для всех ох, Ъу, bz, удовлетворяющих уравнениям

которые выражают, что перемещение происходит ио кривой. Следовательно, только одна из величин 5х, Ъу, bz, например bz, остается произвольной. Умножим теперь два последних уравнения на X и Xj и сложим их с первым. Получим:

каковы бы ни были X, \, bz. Если X и \ определить так, чтобы два первых коэффициента равнялись нулю, то и третий тоже должен будет обратиться в нуль, так как выражение должно равняться нулю при любом 52. Следовательно, имеем одновременно



Если зфавнения кривой представлены в виде

x = (q), y = <!f(q). z = (oiq), то возможная работа будет

§ = (Аср + Кф Н- Zu)) Iq,

и условие равновесия будет

A-cp+Kf + ZoO.

В рассматриваемом случае, так же как и в предыдущем, независимо от того, будет ли точка находиться в равновесии, или нет, для любого перемещения, допускаемого связями, работа нормальной реакции связи равна нулю.

161. Свободное твердое тело. Пусть свободное твердое тело находится под действием заданных сил F, F, • • -, /и- Это тело образовано большим числом материальных точек, вынужденных оставаться на неизменных расстояниях друг от друга. Это и будут связи, наложенные на системз. В этом новом случае единственными возможными перемещениями, допускаемыми связями, являются те, при которых форма тела остается неизменной. Пусть для одного из этих перемещений а, Ь, с обозначают проекции скорости поступательного движения, а р, q, г - проекции мгновенной угловой скорости. Эти шесть величин могут быть выбраны cOBepitienHO произвольно, так как твердому телу можно сообщить какое угодно перемещение. Скорость точки (х, у, Z) имеет проекции

Vx-=a-\-qz- гу, Vy = b + rx-pz, V, = с-}-ру- qx, так что возможная работа

, = X,8x,+ K,83/,+Z,82, силы приложенной к точке (х,, у, z), равна IT, = ХДа + qz - г у.,) Ы +YAb-\- rx, ~pz) bt +

-Z.,ic-\-py - qx,)bt.

Мы можем это выражение написать так:

Г, = Ы[аХ + ЬУ,- cZ,+р (yZ - 2, +

+ q (z,X, - x,Z,) + г (X, - y,X)].

Следовательно, сумма работ на возможных перемещениях всех непосредственно приложенных сил будет

g=IS, = bt [aI.X+blYci:Z-\-pI.(yZ - zV)-

-i-qI.{zX-xZ)-JrrI.(xY - yX)].





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 [66] 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0039