Главная Промышленная автоматика.

ГЛАВА VIII ПРИНЦИП возможных СКОРОСТЕЙ

155. Исторический обзор. Принцип возможных скоростей применялся Галилеем в теории некоторых простых машин и затем Валлисом в его «Механике». Декарт пользовался правилом, похожим на правило Галилея, для того, чтобы свести всю статику к одному единственному принципу. Но (цитируем дословно Лагранжа) «Иван Бернулли был первым, понявшим общность принципа возможных скоростей и его полезность для решения задач статики. Это видно из одного из его писем к Вариньону, датированного 1717 годом, которое последний поместил в начале девятого раздела своей «Новой Механики», раздела, целиком посвященного доказательству справедливости для различных приложений принципа, о котором идет речь, и посвященного его использованию. Этот же принцип привел впоследствии к появлению другого принципа, предложенного Мопертюи в 1740 г. в Memoires de IAcademie des Sciences de Paris под названием «Закона покоя», и развитого затем в более общей форме Эйлером в 1751 г. в Memoires de IAcademie de Berlin. Наконец, этот же самый принцип лежит в основе принципа, данного Куртивроном в Memoires de IAcademie des Sciences de Paris за 1748 и 1749 гг. И вообще я считаю возможным утверждать, что любой общий принцип, который, быть может, будет еще открыт в науке о равновесии, будет не чем иным, как тем же принципом возможных скоростей, рассматриваемым с иной точки зрения и иначе выраженным. Но этот принцип не только сам по себе является очень простым и очень общим: он обладает, кроме того, особо ценной и уникальной выгодой, позволяющей выразить в одной общей формуле все задачи, которые можно предложить на равновесие тел». (Лагранж, Аналитическая механика, часть первая, § 17.)

После Лагранжа было предложено несколько доказательств принципа возможных скоростей. Одно из наиболее известных принадлежит Амперу; изложение его можно найти, например, в Механике Депейру. Позднее К. Нейман предложил другое доказательство (Bericiite der Saciisisciien Gesellsciiaft der Wissenschaften, март, 1886). Мы изложим здесь классическое доказательство, основанное на анализе различных видов простых связей.



FMM cos FMM (1)

называется возможной работой силы F, соответствующей перемещению ММ. К этой возможной работе можно тогда применить все, что говорилось об элементарной работе (глава IV). Ограничимся напоминанием двух следующих предложений.

Для одного и того же возможного перемещения ММ возможная работа равнодействующей нескольких сил, приложенных к точке М, равна сумме работ составляющих сил.

Если возможное перемещение ММ есть геометрическая сумма лескольких перемещений, то работа одной и той же силы на перемещении ММ равна сумме работ этой силы на составляющих перемещениях.

Если обозначить через 8 бесконечно малый промежуток времени, в течение которого осуществляется возможное перемещение ММ,

то вектор V, равный и направленный по ММ, называется воз-

можной скоростью, сообщенной точке М. Заменяя ММ через V ot, можно написать возможную работу в виде

FVcosiF, У)Ы, (2)

так как угол между силой F и вектором V равен углу между этой силой и перемещением ММ.

Аналитически, в прямоугольной системе, если проекции силы обозначить через X, Y, Z, а проекции перемещения через од:, Ьу, Ьг, то возможную работу можно выразить следующим образом:

Xbx-i-Yby-\rZbz.

Мы будем брать возможную работу в форме (1); первоначально ее чаще брали в форме (2). Если будет употребляться форма (2) и если будут рассматриваться возможные перемещения нескольких различных точек, то условимся считать, что для всех этих точек промежуток 5 имеет одно и то же значение.

157. Формулировка принципа. Установив это, рассмотрим систему точек, подчиненных связям без трения, которые могут быть выражены при помощи равенств. Разделим все силы, приложенные к различным

I. Формулировка и доказательство принципа в случае связей, выражающихся равенствами

156. Возможное перемещение и работа. Пусть М- материальная точка, к которой, среди других сил, приложена также сила/-". Допустим, что этой точке сообщено произвольное бесконечно малое перемещение ММ; это сообщенное точке перемещение называют возможным перемещением для того, чтобы отличить его от действительного перемещения, которое эта точка совершает под действием приложенных к ней сил. Элементарная работа



$=FMMcos{F. ММ)

следует, что либо F - 0, либо cos(F, ММ) -О, т. е. либо сила равна нулю, либо сила нормальна к поверхности. В обоих случаях имеет место равновесие.

Выведем снова в качестве упражнения уравнения равновесия точки на поверхности, исходя из принципа возможных скоростей. Мы должны иметь

§ = Xdx+Y dy-Zdz = Q

точкам, на две группы: реакции связей, происходящие от связей, нало.женных на систему, и силы непосредственно приложенные, или заданные силы, которые действуют на систему. Тогда принцип возможных перемещений формулируется следующим образом.

Необходимые и достаточные условия равновесия системы заключаются в том, что для любого возможного ее перемещения, допускаемого связями, сумма возможных работ непосредственно приложенных сил равна нулю.

Мы сначала установим справедливость этого принципа для некоторого числа простых случаев.

158. Свободная точка. Пусть дана совершенно свободная материальная точка и пусть X, Y, Z - равнодействующая непосредственно приложенных к ней сил. В этом случае любое перемещение будет возможным, так как отсутствуют связи. Возможная работа, соответствующая какому-нибудь из этих перемещений, есть

S = Xbx~\-Yby-{-Zbz.

Если точка находится в равновесии, то X, Y, Z равны нулю и, следовательно, действительно # = 0, каково бы ни было перемещение Ьх, Ъу, bz. Наоборот, если оГ = 0, каковы бы ни были 5х, Ьу, bz, то

=0, К = 0, Z = 0,

и точка находится в равновесии.

159. Точка на поверхности. Рассмотрим точку, которая может перемещаться без трения по неподвижной поверхности

/(X, у, z)=Q

и находится под действием силы F. В этом случае имеется одна связь, выражаемая предыдущим уравнением, и единственными перемещениями, допускаемыми этой связью, являются те, которые происходят по поверхности. Если точка находится в равновесии, то сила будет нормальна к поверхности и, следовательно, ко всем возможным перемещениям. Тогда возможная работа будет равна нулю на всех этих перемещениях. Наоборот, если работа § равна нулю на любом перемещении ММ, лежащем на поверхности, то из выражения





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 [65] 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0039