Главная Промышленная автоматика.

Y-zr. (2)

далее, так как tg а =--и s = аа, то

Y=-. (4)

а cos2 а

Это - различные законы, отвечающие заданной окружности.]

Наоборот, найти фигуру равновесия нити, находящейся под действием вертикальной силы, закон которой выражается одной из предыдущих формул (1), (2), (3), (4). Получатся совершенно разные кривые в зависимости от взятого закона. Все они при надлежащем подборе постоянных могут оказаться окружностью хЗ -f у - <fi = 0.

21. Найти закон центральной силы, под действием которой нить расположится по заданной плоской кривой.

[Здесь можно повторить те же замечания, что и в предыдущем упражнении. Принимая центр сил за начало координат и обозначая через /- и 6 полярные координаты, лолучим

dr VrW/

где F рассматривается как положительная или отрицательная величина в зависимости от того, будет ли сила отталкивающей, или притягивающей.] Пример:

окружность, г = 2а cos 6, ds = 2а rff), F = -р .

22. Найти фигуру равновесия нити, каждый элемент которой притягивается или отталкивается неподвижным центром обратно пропорционально

квадрату расстояния. Получится уравнение вида -i == а + 6 cos тв, или

-у = а-{- b ch /ив, или, как промежуточный случай, = а -- йб.

23. Если одна и та же кривая является фигурой равновесия нити под действием силы Fy при натяжении Ту, и силы F при натяжении Т2, то она является также фигурой равновесия нити под действием силы (F) = (kyFy) + (2/2) при натяжении (7") = (Й!?*!)-f (АгТг). где ky и feg - постоянные. Использовать естественные уравнения.

24. Свободная нить под действием заданной силы F располагается по некоторой кривой С. Эту кривую осуществляют материально и протягивают по ней нить, подвергнув ее действию той же силы F. Показать, что в этом втором случае нормальная реакция кривой С на элемент ds лежит в соприкасающейся плоскости и имеет значение k dsjf, где k - постоянная, а р - радиус кривизны.

25. Пусть М - произвольная точка нити, находящейся в равновесии. Показать, что главный момент относительно точки М всех внешних сил, действующих на нить от конца М(, до точки М, равен нулю (Мёбиус). (Этот результат выводится из принципа затвердевания в применении к дуге МоМ-Можно вновь установить результаты, указанные в тексте, применив это условие к части находящейся в равновесии цепной линии, заключенной



между вершиной Mq и точкой М, и приняв в качестве вспомогательной переменной натяжение Тд в точке Mq.)

26. Для тяжелой цепочки переменной плотности, находящейся в равновесии на сфере, гиперболоид, у которого образующими одного семейства являются натяжения в точках Л и 5, и вертикаль, проведенная через центр тяжести дуги АВ, проходит через центр сферы. (Для доказательства следует предположить, что дуга АВ затвердела и заметить, что приложенные к этой дуге внешние силы: натяжения в точках А и В, вес и равнодействующая реакции сферы должны уравновешиваться.)

27. Найти фигуру равновесия гибкой и нерастяжимой невесомой нити, по которой проходит электрический ток и которая находится под действием магнитного полюса О.

[Геодезическая линия кругового конуса с вершиной в точке О (Дарбу).] Напомним, что действие полюса О на элемент ds, находящийся на расстоянии г от точки О, нормально к плоскости О ds и равно по величине

ds , , .4 sin (г, ds).

28. Среди кривых, проведенных на заданной поверхности S между двумя точками, рассматриваются те кривые С, которые обращают в минимум

интеграл I = J tf ds, т. е. кривые, которые были определены в п. 149.

Показать, что при переходе от какой-нибудь такой кривой АВ к бесконечно близкой кривой AyBi, лежащей на поверхности, вариация интеграла по-прежнему определяется формулой Тэта и Томсона. Вывести отсюда такие же следствия, как и для кривых С в пространстве (п. 147).

29. В плоскости zOx рассматриваются цепные линии, имеющие основанием ось Ох и пересекающие нормально заданную кривую С. На каждой нз этих цепных линий от точки А, в которой она пересекает кривую С, откладывается дуга АВ такая, что она описывает при вращении вокруг оси Ох определенную площадь S. Доказать, что геометрическое место точек В есть кривая С, нормальная к каждой цепной линии. (Приложение теоремы Томсона и Тэта.)

30. Даны две неподвижные точки Л и 5 и неподвижные поверхности Si, S2, Sp (рис. 103, п. 150). Рассмотрим точки Ру, Р, Рр, которые могут скользить без трения по этим поверхностям. Допустим, что первая точка Рх притягивается к точке Л постоянной по величине силой л и к точке Р2 постоянной по величине силой л; вторая точка Р2 притягивается к точке Рх постоянной силой л и к точке Я3 постоянной силой Ла и т. д. Доказать, что положением равновесия системы является путь светового луча, идущего от Л к В и подчиняющегося законам преломления, указанным в тексте.

31. Доказать, что путь АРхР.-.РрВ светового луча от Л к В по законам преломления (п. 150) совпадает с фигурой равновесия веревочного

многоугольника, вершины которого Л и В закреплены, а вершины Рх, Р2.....Рр

могут скользить без трения по поверхностям Si, S2, Sp и для которого натяжение стороны Pj/j.x Рвно л.. (Другая форма условий предыдущей задачи.)

32. Если вдоль кривой (п. 146), соединяющей точки Л и В, функция <f(x, у, г) принимает положительные и отрицательные значения, то интеграл

J t (х, у, Z) ds,

взятый по этой кривой, не может быть ни максимумом, ни минимумом. (Вейерштрасс. См. заметку Кобба Annales de la Faculte des Sciences de Toulouse, 1891).



33. Пусть А и в - две точки, из которых одна расположена выше, а другая ниже плоскости хОу. Если среди кривых, соединяющих эти две точки, искать ту, которая обращает в максимум или минимум интеграл

f Z"d2,

где п - целое положительное четное число, то получится, что эта кривая состоит из двух перпендикуляров АА и ВВ, опущенных из точек А к В на плоскость хОу и из прямой АВ.

34. Рассмотрим функцию <р (х, у, г), конечную и непрерывную в области пространства, расположенной по одну сторону от некоторой поверхности S, на которой эта функция принимает постоянное значение k. Пусть ср (х, у, z) - - другая функция, конечная и непрерывная по другую сторону этой поверхности 5 и принимающая на ней постоянное значение ky. Пусть, наконец, А - точка в первой области, а В - во второй. Найти, какой кривой нужно соединить эти две точки, чтобы получить максимум или минимум для интеграла

(Р) (В)

/= J fix, у, 2)ds-{- J fi(x,y,2)ds,

(A) (P)

где j° -точка пересечения искомой кривой с поверхностью 5.

Дуги АР и BP являются кривыми, образующими, соответственно, первый

и второй интегралы в максимум или минимум; касательные t ч ty к этим кривым в точке Р лежат в однфй плоскости с нормалью к поверхности 6 в той же точке и образуют с этой нормалью углы / и i, для которых

sini ki \

sinii k )

35. Если дугу АР перемещать нормально к некоторой поверхности 2, которую она пересекает в точке А, и если на кривых АР и BP предыдущего упражнения отложить такие дуги, что интеграл / будет иметь постоянное значение, то геометрическим местом точек В будет поверхность S, нормальная к дугам РВ. (Это свойство доказывается при помощи соотношения Тэта и Томсона (п. 147), которое надо последовательно применить к вариации каждого из обоих интегралов, составляющих /.)

36. Упругий прямолинейный вертикальный стержень, находящийся в естественном состоянии, имеет заделанный конец А. Другой его конец В подвергается действию вертикальной силы Т. Каков предел силы Т, начиная с которого стержень изгибается?





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 [64] 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037