Главная Промышленная автоматика.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Натянутая невесомая нить проходит через находящиеся на одинаковых расстояниях неподвижные кольца Ау, А, An- Показать, что если имеет место равновесие, то натяжение постоянно и давление на каждое кольцо А}с обратно пропорционально радиусу окружности, проведенной через это кольцо Ajc и через два других соседних с ним кольца А-у и yl+i-Вывести отсюда предельным переходом закон давления на кривую для невесомой нити, протянутой по этой кривой, по которой она может скользить без трения (Пуансо, Statique).

2. Невесомая нить заданной длины закреплена своими концами в двух неподвижных точках А а В. По этой нити могут скользить без трения два кольца Ml и Mz, находящихся соответственно под действием сил Fy и Fj, заданных по величине и направлению. Найти положение равновесия системы. (Надо воспользоваться сказанным в конце п. 128.)

3. Для веревочного многоугольника, находящегося в равновесии, нужно взять моменты tpf сил и моменты xj. натяжений относительно некоторой ТОЧКИ. Показать, что для этих векторов можно построить многоугольник, аналогичный многоугольнику Вариньона, заменив векторы Ff и Ti векторами <fi и Zik-

4. Показать, что если веревочный многоугольник находится в равновесии, то, построив векторы, сопряженные относительно некоторой сферы (мнимой) силам и натяжениям, и прямые, сопряженные сторонам так, как об этом указывалось в упражнении 3 в конце главы I, мы получим новый многоугольник, находящийся в равновесии. Стороны одного многоугольника являются прямыми, сопряженными сторонам второго; вершины одного суть точки, сопряженные плоскостям, образованным двумя последовательными сторонами другого.

5. Фермы. Теорема Ренкина (см. Philos. Magazine, т. XXVII, 1864, стр. 92; Максвелл, там же, стр. 250). Силы, приложенные к узлам пространственной фермы, находятся в равновесии, когда они перпендикулярны и пропорциональны граням многогранника, ребра которого лежат в плоскостях, проведенных через неподвижную точку О нормально стержням фермы.

Решение. Предполагая, что многогранник из стержней находится в равновесии, построить многогранник, образованный векторами, сопряженными силам и натяжениям относительно мнимой сферы с центром О в соответствии с методом, указанным раньше (упражнение 3 в конце главы I). (См. статью Гидо Гука, Crelle, т. 100, стр. 365.)

6. Шарнирный четырехугольник, образованный четырьмя стержнями неизменной длины а, Ь, с, d, находится под действием четырех сил, приложенных в его четырех вершинах. Каковы должны быть эти силы, чтобы была равновесие? (Эта задача решена Мёбиусом, Статика.)

7. Шарнирная система Фусса. Рассматривается плоский многоугольник, образованный твердыми материальными стержнями, сочлененными своими концами шарнирно. В плоскости многоугольника в середине каждой стороны, перпендикулярно к ней, приложены силы, пропорциональные длинам соответствующих сторон. Доказать, что фигурой равновесия является вписанный в окружность многоугольник.

8. Радиус кривизны, находящейся в равновесии тяжелой однородной нити, изменяется пропорционально квадрату натяжения (Мёбиус).

9. Рассмотрим несколько одинаковых однородных нитей, вытянутых сначала по прямым линиям от точки Р до точек ЛГ, ATj, ЛГд.....ЛГ<, лежащих на

одной вертикали. После этого точка Р несколько смещается по горизонтали таким образом, что она приближается к вертикали и переходит в точку М. Тогда эти нити, которые предполагаются тяжелыми, расположатся по цепным линиям. Доказать:



1) ЧТО все цепные линии имеют одинаковый параметр а;

2) что их вершины лежат на цепной линии того же параметра а, обращенной вогнутостью к основанию и имеющей вершину в точке М (Мёбиус).

10. Найти положения равновесия однородной тяжелой нити, подчиненной указываемым ниже условиям на концах, причем длина нити предполагается заданной:

1°. Один из концов закреплен в точке А, другой проходит через бесконечно малый блок, находящийся на такой же высоте как и точка А, и затем свободно свешивается.

2°. Нить проходит через два бесконечно малых блока, расположенных на одной высоте, и оба конца свободно свешиваются. (Ответ: обе свешивающиеся части имеют одинаковую длину и оканчиваются у основания цепной линии; имеются два положения равновесия: одно устойчивое, другое неустойчивое.)

3°. Оба конца скользят без трения по двум одинаковым соприкасающимся внешним образом окружностям, центры которых лежат на одной высоте.

4°. Нить замкнута и проходит через два бесконечно малых блока А и В. [Ответ: две цепные линии ASB и ASВ с общим основанием; если через более низкий блок А провести горизонталь AUU, пересекающую обе кривые в точках U и U, то длины обеих цепных линий обратно пропорциональны дугам Ви и BU (Мёбиус).]

5°. Оба конца закреплены в неподвижных точках, находящихся на одной высоте; вдоль нити может скользить без трения бесконечно малое кольцо М, к которому подвешен груз Р. (Ответ: кольцо расположится на середине нити; обе части МА и MB суть две цепные линии с общим основанием; в точке М получается угловая точка; натяжения дуг МА и MB уравновещиваются грузом Р.)

11. Найти фигуру равновесия, которую принимает под действием ветра прямоугольный парус ABCD, закрепленный двумя противоположными краями на двух вертикальных реях АВ и CD. (Действием веса пренебрегаем; предполагается, что ветер дует горизонтально и его давление на элемент паруса нормально к этому элементу и пропорционально его площади и квадрату нормальной составляющей скорости ветра. Можно считать очевидным, что парус примет форму цилиндра с вертикальными образующими и что вид прямого сечения не зависит от высоты. Следовательно, достаточно выразить, что полоса между двумя плоскостями двух бесконечно близких прямых сечений находится в равновесии. Эту полосу можно отождествить с гибкой нерастяжимой нитью. Прилагая к ней естественные уравнения, найдем, что она примет форму цепной линии и что натяжение постоянно.)

12. Найти фигуру равновесия нити, на каждый элемент которой действует вертикальная сила, пропорциональная горизонтальной проекции этого элемента. (Парабола - предельный случай веревочного многоугольника висячих мостов.)

Определить постоянные, зная, что нить имеет заданную длину и закреплена в двух заданных точках.

13. Найти фигуру равновесия тяжелой нити, плотность которой изменяется пропорционально длине дуги s, отсчитываемой от наиболее низкой точки.

14. Тот же вопрос, полагая, что плотность равна -(окружность).

cosi-а

15. Определить закон изменения плотности тяжелой нити в функции s Для того, чтобы под действием веса она приняла форму наперед заданной кривой (параболы с вертикальной осью, окружности и т. д.). Ответ на этот вопрос получится, если исходить из естественного уравнения (п. 138).



16. Цепная линия одинакового сопротивления. Так называют цепь переменной толщины такую, что в фигуре равновесия толщина в каждой точке пропорциональна натяжению в этой точке. В этом случае вероятность разрыва во всех точках одинакова (Кориолис). Требуется определить урая-нение этой кривой и закон изменения толщины.

Ответ. Пусть о - прямое сечение цепи, изменяющееся с s, р - вес единицы объема; вес элемента ds равен pads. Если за начало координат принять наиболее низкую точку, то уравнение кривой будет

е « cos - = 1, а

а для закона изменения толщины а получим

а cos - а

17. Найти фигуру равновесия нити, на каждый элемент ds которой действует сила Fds, пересекающая неподвижную ось и нормальная к ней, причем F есть функция только расстояния г от элемента до оси.

Ответ. Принимая заданную ось за ось Oz и обозначая через л и полярные координаты в плоскости хОу, получим три уравнения:

7- = - Г Fdr, Т=С, Тг~ = К. J ds ds

Каков бы ни был закон силы получается дифференциальное уравнение вида

= /-2 dQ,

которое показывает, что касательные к кривой принадлежат линейному комплексу.

18. Частный случай предыдущей задачи, когда F = \>.r {\>. - постоянная), при произвольных условиях на концах. Эта задача исследована Клебшем при помощи особого метода, который будет изложен в аналитической механике (Crelle, т. 157, стр. 93).

Мы рассмотрели (п. 142) случай, когда оба конца нити закреплены в точках оси.

19. Найти фигуру равновесия нити в плоскости, зная, что на каждый ее элемент действует сила, пропорциональная этому элементу и образующая с ним постоянный угол. [Применить естественные уравнения; кривая является логарифмической спиралью (О. Бонне).]

29. Найти закон вертикальной силы, под действием которой нить располагается по заданной плоской кривой.

[Задача не будет вполне определенной, если в формулировке ничего не добавить относительно природы силы. Чтобы задача стала определенной, необходимо задать переменную, в функции которой должна быть выражена сила. Если нить лежит в плоскости хОу и сила Y ds параллельна оси Оу, то Y может быть выражен в функции одной из величин х, у, s, а, где а - угол касательной с осью Ох, или в функции нескольких из этих величин сразу. Например, если заданная кривая есть окружность х-\-у" - «2=0, то естественное уравнение (п. 138) будет





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 [63] 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.604