Главная Промышленная автоматика.

Первый случай. - 1 < fi < 1. В этом случае можно положить (х = и радикал, содержащийся в формулах, принимает вид

/2(cos e + fi) = Y2 (cos e - cos a).

Для того чтобы он был вещественным, необходимо, чтобы в, начиная от нуля, изменялось между -а и + а. Когда в изменяется от О до а, получается дуга АВ (рис. 104, а; рис. 105, й, б, в); когда 6 изменяется от О до -о, получается симметричная дуга АВ.


В точках В к В кривая пересекает ось Ох под углом о, так как нормаль в точке, например, В образует с осью Оу угол а. Абсцисса точки В на основании формулы (5) будет

cos 6 fife

Y2 (cos 6 - cos a)

где радикал берется положительный.

Когда угол о - острый или прямой, величина Xq получается положительной, так как все элементы интеграла положительны (кривая на рис. 105, а); когда а возрастает, начиная от л/2, величина х будет сначала положительной (форма на рис. 104, а), затем обратится в нуль при некотором значении ац величины а (форма на рис. 105, б) и после этого становится отрицательной (форма на рис. 105, в); когда а близко к л, тогда х отрицателен и очень велик; это вытекает из того, что при о = л получается Xq = -оо; действительно, тогда

С COS 6 db 2 COS

а этот интеграл равен -оо. В предельном случае, когда (л = 1, кривая будет иметь форму, указанную на рис. 105, г с асимптотой Ох.

Если S продолжает возрастать, начиная от точки В, то угол в будет обязательно убывать, так как он ие может быть больше а. Начиная с этого

- COS а.



Y2 (cos 6 - cos а)

Сделаем подстановку

cos 6 = 1 - 2 sin3 , cos а = 1 - 2 sin2 - ,

тогда

Г db

о 2/~ sin2--sin2--

момента, нужно будет перед радикалом брать знак минус. Когда в изменяется от а до -ос, получается новая ветвь кривой, симметричная первой относительно В, и т. д. Получается бесконечное число одинаковых волнообразных линий, как в синусоиде.

Второй случай. Если [i > 1, то в может изменяться от О до 2л; у и l;f> никогда не обращаются в нуль; кривая имеет вид, указанный на рис. 104, б.

Интегрирование в этих двух случаях может быть выполнено в эллиптических функциях (см. Аппелль и Лякур, Principes de la theorie des fonctions elliptiques, приложения).

Третий случай. В промежуточном случае, когда fi = 1, кривая, как мы уже говорили, будет иметь асимптотой ось (Ух, так как х - -со (рис. 105, г). В этом случае все интегрирования могут быть выполнены в элементарных функциях.

153. Случай первоначально прямолинейного стержня, сжимаемого на концах двумя одинаковыми и прямо противоположными силами.

Наблюдения показывают, что первоначально, прямолинейный упругий стержень, к концам которого приложены две одинаковые и противоположно направленные силы Т, не изгибается до тех пор, пока значение Т не превысит некоторого предела; говорят, что тогда имеет место продольный изгиб. Когда Т меньше этого предела, единственно возможной фигурой равновесия является прямолинейная форма. Лишь при значениях Т превосходящих указанный предел, возможны изученные выше криволинейные фигуры равновесия. Найдем этот предел.

В рассматриваемом случае, так как ось стержня в естественном состоянии прямолинейна, то - = О и из формулы (1) для пары получаем Ро

n=B~.

Эта пара обращается, следовательно, в нуль одновременно с кривизной. Но мы предположили, что к обоим концам В и В" стержня приложены две силы Т, равные, противоположно направленные и не образующие пары;

отсюда вытекает, что для обоих концов n = о и - = 0, следовательно, эти

концы являются точками перегиба, как указано на рис. 105, а. Когда стержень очень мало отклоняется от первоначальной прямолинейной формы, величина а очень мала. Она равна нулю для прямолинейной формы. Допустим, что стержень может принять волнообразную фигуру равновесия, показанную на рис. 105, а, с п волнами, и определим постоянную а, зная длину / стержня и сила Т на обоих концах В и В". Постоянная с будет тогда известна и равна YBjT. Согласно выражению (4) для ds, дуга АВ имеет длину



Таким является условие существования фигуры равновесия с п волнами. Наи.меньшее значение нижнего предела для Т соответствует значению л= 1. Следовательно, для того чтобы существовала возможная фигура равновесия с одной волной, необходимо, чтобы

Если давление Т меньше этого предела, то единственно возможной фигурой равновесия будет прямая линия.

154. Стержень, изгибаемый действующим в одной плоскости постоянным нормальным давлением. Эта задача исследована Морисом Леви (Comptes Rendus, т. XCVII, стр. 694); интегрирование по-прежнему выполняется в эллиптических • функциях, как это показано в Traite Альфена и в Principes de la theorie des fonctions elliptiques Аппеля и Лякура.

Обозначим, для краткости, sin- = k и сделаем за.мену пере.менной

sin ~ = ku.

Когда е изменяется от О до а, тогда и изменяется от О до 1 и мы имеем

АВ = сК,

К= f -. (9)

Для всей длины I стержня, равной 2пАВ, получаем

1 = 2псК. К=~. (10)

Это уравнение, в котором fe = sin- неизвестно, определяет угол а. Для

того чтобы фигура равновесия с п волнами существовала, необходимо и достаточно, чтобы из этого уравнения получалось для k значение, заключенное между О и 1. Но при fe=0 имеем, согласно равенству (9), /< = -2";

при возрастании k интеграл К постоянно возрастает, так как возрастает подынтегральное выражение, и при k = \ интеграл К становится бесконечным. Таким образом, когда к изменяется от О до 1, интеграл К проходит один и только один раз через любое значение, больще чем я/2. Для того чтобы уравнение (10) имело для к рещение, необходимо и достаточно, чтобы

2пс- 2

Заменяя с его значением YBjT, находим





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 [62] 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037