Главная Промышленная автоматика.

так, чтобы не изменилась длина стержня и чтобы его ось осталась плоской и приняла новую форму С. Радиус кривизны в точке М будет теперь р. В этом положении вынужденного равновесия силы упругости определяются следующими законами.

Если разрезать стержень в точке М, то для сохранения равновесия нужно будет к сечению в точке М приложить силу 7, лежащую в плоскости кривой С и пару с вектором момента, перпендикулярным к этой плоскости, численное значение которого N {изгибающий момент) пропорционально изменению кривизны, так что

\Р Ро/

где В - постоянный коэффициент, зависящий от природы стержня. 152. Ось стержня была первоначально дугой окружности.

Рассмотрим наиболее простой случай, когда ось стержня была первоначально дугой окружности М.АМо или прямой, так что - = const.

Пусть к концам Му и стержня приложены две силы и Tg-лежащие в плоскости его изогнутой оси при равновесии, и две пары Л/, и N2 с моментами, перпендикулярными к этой плоскости.

Обе силы Ту и Т2 равны и противоположно направлены, так как единственными действующими на стержень внешними силами, сумма проекций которых на произвольное направление должна равняться нулю, являются силы Ту и Т2 к пары Ny и N2.

В О В



Рис. 104.

С другой стороны, так как сумма моментов внешних сил относительно любой точки плоскости равняется нулю, то силы Ту и Т2 составляют пару, которая уравновешивает пары Ny и N2-

Примем за ось Ох (рис. 104) прямую, параллельную силам Ту и Tj. Пусть М - произвольная точка оси стержня. Если стержень разрезать в точке М, то часть МуМ будет находиться в равновесии под



действием следующих внешних сил: 1) силы Ту и пары Л,, действующих на конце М, 2) силы Т и пары Л, действующих в точке М. Пара N имеет момент

Эти внешние силы, приложенные к дуге ММ, уравновешиваются. Следовательно, сила Т равна по величине силе Т, но направлена противоположно ей. С другой стороны, сумма моментов всех внешних сил относительно любой точки плоскости должна равняться нулю. Возьмем сумму моментов относительно точки О; тогда, обозначая через у м Ух ординаты точек М и М, имеем

T,yx-Ty-Nx-\-N = 0,

или, заменяя Т через Ту и N его значением (1), получим уравнение

Тх(Уг-у}-Мх + в(-1==0.

Если сила Ту равна нулю, т. е. если к концам стержня прикладываются только пары, то из этого уравнения получаем для 1/р постоянное значение, и фигура вынужденного равновесия будет другой дугой окружности.

Оставляя этот случай в стороне, разрешим уравнение относительно 1/р и в получившейся правой части вынесем Ту!В в качестве множителя за скобки. Получим уравнение вида

1 1 / AS

j-iy-bi

где через обозначена положительная постоянная В/Ту и через b - другая постоянная. Ось х всегда можно переместить параллельно самой себе так, чтобы последняя постоянная исчезла и чтобы уравнение равновесия приняло вид

7 = *- »

Таким образом, получено дифференциальное уравнение кривой, форму которой примет ось стержня. Для интегрирования этого уравнения обозначим чере 6 угол, образованный нормалью в точке М с осью Оу (рис. 104); если точка М переместится на ds, то нормаль повернется на угол £?6 и мы получим

- = - ds р ~ с"



откуда, дифференцируя, получим

I dy 1

ds с" ds с2

sine. (3)

dy . г, dx д

так как = - sin В и т-созй. ds ds

Умножим обе части уравнения (3) на и проинтегрируем. Получим

где (J. - произвольная постоянная. Теперь находим

. д . с cos 6 й(в

dx - cos О as = -, =,

+ /2 (cos е -h (i)

откуда

г cos е d% ...

х = с \ -у =. (5)

J +/2(cose + (i)

Здесь нет необходимости добавлять постоянную, так как всегда можно в качестве оси Оу выбрать нормаль к кривой, перпендикулярную к оси Од:. С другой стороны, имеем

•> = y = S=±>2(°H=t. (6)

Формулы (5) и (6) определяют х и у в функции б. Здесь нужно различать три случая в зависимости от того, будет ли л лежать внутри промежутка (-1, +1), или будет больше 1, или равняться 1.

Укажем вкратце форму кривой в этих трех случаях. Анализ будет основываться на следующих замечаниях.

Условимся отсчитывать дугу s кривой от точки А, лежащей на оси Оу (рнс. 104), и примем в качестве положительного направления для s направление движения точки, абсцисса которой, будучи в начале равна нулю, становится положительной. Когда кривая описывается в этом направлении, s всегда возрастает; следовательно, ds всегда положительно и в формуле (4> радикал всегда имеет тот же знак, что и db. Этот знак радикала должен быть сохранен во всех последующих формулах. Из формул

sine, = cos9 (7>

ds ds

видно, что при возрастании s координаты у и х возрастают или убывают в зависимости от того, положительны или отрицательны величины - sin ft и cos 6. Наконец, точками перегиба являются те точки кривой, в которых она пересекает ось х, так как уравнение (2) показывает, что р обращается в бесконечность при у = О, и наоборот.

Ось О у является осью симметрии кривой.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 [61] 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0041