Главная Промышленная автоматика.

где член с bz аналогичен двум первым членам. Эта вариация в/ должна быть равна нулю, каковы бы ни были X, Ьу и bz. Мы можем распорядиться величиной X таким образом, чтобы коэффициент при Ьх обратился в нуль. Тогда величина, стоящая под знаком интеграла, будет содержать только члены с 8у и bz, и так как 8/ должно равняться нулю при любых Ьу и bz, то коэффициенты при этих двух вариациях должны тоже равняться нулю. Таким образом, при подходящем выборе X получаются три следующих уравнения, которые мы выписываем с обратными знаками:

)+(-

дх д ду

дх д/

• j ds - О,

Эти уравнения, вместе с уравнением поверхности, определяют искомые кривые С.

Но эти уравнения в точности совпадают с уравнениями равновесия нити, лежащей на поверхности S, когда силовая функция равна - <р и натяжение равно f. Мы получаем, таким образом, результат, тождественный с тем, который мы получили для кривых в пространстве.

Пример. Если 9 = 1, то интеграл / определяет длину кривой АВ. Следовательно, если искать на поверхности линии наименьшей длины, соединяющие две точки А и В, то получится фигура равновесия нити, которая лежит на поверхности и на которую не действуют никакие непосредственно приложенные силы (п. 144).

150. Рефракция. Покажем вкратце, что этот же интеграл J <f (х, у, z)ds

встречается в общей задаче рефракции. Этот факт, по крайней мере в наиболее простых случаях, был отмечен уже Мопертюи, Иваном Бернулли и Эйлером. Лаплас даже рассматривал с этой точки зрения двойную рефракцию (Memoires de Ilnstitut, 1809).

Когда световой луч переходит из пустоты в однородную среду, (рис. 102), ограниченную произвольной поверхностью S, то он подчиняется двум следующим законам:

1°. Падающий луч АР, преломленный луч РАу и нормаль PN к поверхности S находятся в одной плоскости.

2°. Справедливо соотношение

sing sin г

(м)


= п.

Рис. 102.

где I - угол АРМ, г - угол AyPNy ил - постоянная, называемая показателем преломления среды относительно пустоты или абсолютным показателем преломления.

Пусть {М) и {Мх) - две однородные среды с абсолютными показателями преломления п и разделенные поверхностью 5. Если световой луч переходит из первой среды во вторую, то первый закон сохраняется и

sin 1 Пх sin г л"



так как ajPA и - ajPAi равны sin / и sin г. Это - второй закон преломления. Таким образом, искомый минимум получается вдоль пути, по которому луч идет от А к Ау.

Вообразим теперь несколько поверхностей Si, 5г, ...,Sp, разделяющих однородные среды. Пусть над Sy находится среда с абсолютным показателем преломления п, между Si и - среда с показателем л1, между и Sj - среда с показателем п, и, наконец под Sp - среда с показателем Пр. Возьмем в первой среде точку А, в последней среде точку В и рассмотрим мивгвугольник APyPi ... РрВ с вершинами на каждой из поверхностей.

Напомнив эти законы, переходим к следующей задаче.

Пусть А и Ai - две заданные точки по одну и другую стороны от S, а Р - произвольная точка на этой поверхности. Каково должно быть положение точки Р, чтобы сумма

а = пАР + «1

была минимумом? Покажем, что минимум получится тогда, когда две прямые АР и PAi удовлетворяют закону преломления при переходе из среды (М) в среду (Ml). В самом деле, если обозначить через а, Ь, с координаты точки А, через «i, by, с,-KOOpflnnaTbt точки Ay и через х, у, z-координаты точки Р, то расстояния АР и АуР будут соответственно иметь значения

Vix а)2 + (у 6)2 + {г и Vix- af -f (у - byf -f (г - cf.

Сумма с будет функцией двух независимых переменных х п у, так как z есть функция от дг и у, определяемая уравнением f{x, у, г) = О поверхности 5. Для того чтобы найти значения Jf и у, обращающие с в минимум, необходимо приравнять нулю частные производные от s по л: и у, что приводит к двум уравнениям

(x - a) + {z - c) (х - ах) + (г - сх)~.

п-=--1- п,-=-= 0,

РА PAi

{y-b) + {z-c) (y-6i)-f (г-сг)-

л-=- -I- л,-=-- = о,

РЛ PAi

которые вместе с уравнением поверхности определяют координаты точки Р. Определив таким образом эту точку, сделаем замену осей координат: примем точку Р за начало (рис. 102), за ось Oz примем нормаль в сторону точки А и за плоскость zx плоскость, содержащую А, так что координата b точки А будет равна нулю, а координаты а и с будут положительны. Величины х,

у, 2, , будут тогда для точки Р равны нулю и полученные уравнения

примут вид

-- = 0, 6, = 0. РА РАг

Второе уравнение показывает, что точка Ау также лежит в плоскости гРд:, что выражает первый закон преломления. Первое уравнение показывает, что «1 отрицательно и, если через i и г обозначить углы, образуемые отрезками АР и PAi с нормалью Pz, то из этого уравнения получим

л sin г - Пу sin г = О,



идущий от точки А к точке В (рис. 103). Если искать, каким должен быть этот многоугольник для того, чтобы сумма

<: = лЛ/>1 +Л1Р1Р2+ ... +ПрРрВ

была минимумом, то согласно предыдущему получится, что он должен быть тем путем, по которому идет световой луч от А к В, следуя законам преломления.

Допустим, наконец, что число поверхностей неограниченно увеличивается и притом так, что стороны многоугольника, так же как и разности n - ni, т-«2, стремятся к нулю. Тогда совокупность рассмотренных сред превратится в непрерывную среду, в которой абсолютный показатель преломления п будет непрерывной функцией 9 (х, у, г) координат. Многоугольник, по которому следует световой луч, превратится в кривую, а сумма а станет интегралом

rf nds.


Рис. 103.

Таким образом, путь светового луча из точки А в точку В совпадает с кривой,

которая обращает интеграл / в минимум и для которой мы составили дифференциальные уравнения. По этому вопросу можно указать на статью О. Бонне (Nouvelles Annales de Mathematiques, 1887). Эти же кривые были исследованы Викером (Comptes Rendus, т. CVHl, стр. 330). Наиболее существенные их свойства были даны еще Эйлером в его «Теории брахистохрон».

IV. Плоские эластики

151. Натяжение и изгибающий момент. Пусть дан однородный упругий стержень, длина которого велика по сравнению с его толщиной и который имеет по всей своей длине одинаковые поперечные сечения. Осью стержня называют геометрическое место центров тяжести его поперечных сечений. Естественным состоянием равновесия стержня является та его форма, которую он принимает, когда на него не действуют никакие силы, которые стремились бы его деформировать, например, когда он положен на стол. Если к стержню приложить силы, стремящиеся его изогнуть, то он изменит свою форму и придет в новое состояние равновесия, которое называется вынужденным состоянием равновесия, соответствующим данным силам. Мы исследуем здесь наиболее простые случаи равновесия, когда изогнутая ось стержня (эластика) является плоской кривой. Но сначала укажем некоторые общие предложения, касающиеся такого рода задач.

Рассмотрим упругий стержень, ось которого в естественном состоянии имеет вид плоской кривой Cq, и пусть ро - радиус кривизны в какой-нибудь точке М этой кривой. Допустим теперь, что стержень деформируют, приложив к нему некоторые силы, но деформируют





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 [60] 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037