Главная Промышленная автоматика.

заключающийся в том, что для нахождения кратчайшего расстояния между S и S нужно провести общую нормаль к обеим поверхностям. Отсюда видно, что искомая кривая является фигурой равновесия нити, концы которой скользят без трения по двум поверхностям, причем натяжение равно 9 и силовая функция равна -9. Очевидно, что та же теорема будет справедлива, если одну из поверхностей заменить неподвижной кривой или точкой.

2°. Теорема Тэта и Томсона. Если рассматриваются кривые С, выражаемые уравнениями (3) и нормальные к заданной поверхности S и если на каждой из этих кривых откладывается от точки А, в которой она пересекает поверхность S, дуга АВ такая, что интеграл

f= j (ds.

взятый вдоль этой кривой, имеет постоянное значение, одинаковое для всех кривых, то геометрическое место точек В есть поверхность 2, нормальная ко всем кривым.

В самом деле (рис. 100), если перейти от кривой С к бесконечно близкой кривой Су, то вариация S/, заданная формулой (4), равна, по предположению, нулю, но так как cos ААу = О в силу того, что кривая С нормальна к 5, то и cos ХвВу = О, и кривая С нормальна к S.

Эта теорема, которая содержит как частный случай (9 = 1) теорию параллельных поверхностей, справедлива, очевидно, и в предельном случае,

когда поверхность S сводится к сфере бесконечно малого радиуса, т. е. когда кривые С проходят через неподвижную точку.

148. Примеры. 1°. Пусть функция 9 (дг, у, г) имеет вид pz. Будем рассматривать кривые, проведенные только в части пространства, расположенной над плоскостью ху. Кривые С являются фигурами равновесия нити, на каждый элемент которой действует вертикальная сила. Проекция последней на ось Ог равна -pds, причем натяжение Т равно pz. Следовательно, кривые являются цепными линиями, лежащими в вертикальных плоскостях и имеющими основания в горизонтальной плоскости X Оу. Действительно, мы видели, что если г есть ордината основания находящейся в равновесии цепочки, то натяжение Т равно /)(г -о); следовательно, zq должно быть равно нулю.

Этот результат имеет интересное геометрическое толкование. Возьмем в вертикальной плоскости zOx две точки А м В, лежащие над осью Ох, и кривую AM В, соединяющую эти точки (рис. 101). Площадь поверхности, образованной вращением этой кривой вокруг оси Ох, равна


zds.

Следовательно, кривая АМВ, описывающая наименьшую площадь, есть цепная линия, соединяющая обе точки Аи В и имеющая основанием ось Ох. Если искать цепную линию, удовлетворяющую этим условиям, то окажется, что она не всегда существует. Например, если обе точки А и В имеют



Z ds с

Это уравнение интегрируется сразу. Обозначая через а новую постоянную, найдем

(д: -а)2 + г2 -с2 = 0,

т. е. уравнение окружности с центром на оси Ох. Следовательно, в пространстве кривые С суть окружности, перпендикулярные к плоскости ху. Через две точки А и В проходит, очевидно, одна и только одна из этих окружностей.

Геометрия, в которой эти окружности С играют ту же роль, что и прямые в обычной геометрии, и в которой сохранено элементарное понятие

угла, а за длину дуги какой-нибудь кривой принимается интеграл J ,

распространенный на эту дугу, является неэвклидовой геометрией Лобачевского.

149. Та же задача на поверхности. Нахождение фигуры равновесия нити на поверхности в случае, когда существует силовая функция, также приводится к определению максимума или минимума некоторого определенного интеграла.

одинаковые ординаты, то она существует только в том случае, когда половина угла при вершине С равнобедренного треугольника АСВ, имеющего основание АВ и вершину в точке С на оси, меньше угла DCT = =33° 32, который образован осью симметрии CD (рис. 101) и касательной СТ к цепной линии, проведенной из точки пересечения оси симметрии с основанием. Мы не будем здесь указывать условий существования цепной линии при произвольном положении точек А н В. Эти условия установлены впервые Гольдшмидтом (Determinatio superficiei mimoe, etc., Гёттинген, 1831).

Когда цепная линия не существует, то кривая АМВ, при вращении которой описывается минимальная площадь, состоит из двух ординат АА и ВВ заданных точек и отрезка оси Ох, заключенного между А и В. В самом деле, дифференциальные уравнения кривой суть

Из первого имеем pz -j = k. Если k не равно нулю, то получается цепная

линия. Если цепной линии нет, то это решение должно быть отброшено. В этом случае следует положить k = 0, и, следоватЛьно,

dx ds

Это показывает, что либо z равно нулю, либо х постоянен. Таким образом, часть кривой, не совпадающая с осью Ох, состоит из прямых, к ней перпендикулярных.

2°. Пусть = - и по-прежнему рассматриваются точки и кривые, расположенные над плоскостью хОу. Все кривые С лежат в вертикальных плоскостях, причем в одной из них, а именно в плоскости zOx, они имеют дифференциальные уравнения

которые приводятся к одному уравнению. В первом уравнении заменим ds через Ydx -f- dz и затем разделим в нем переменные. Получим

\ dx \ zdz --= -, или dx = ±



Среди всех кривых, проведенных на неподвижной поверхности S я соединяющих две ее заданные точки А и В, нужно найти те, которызе обращают интеграл

-f,(x.

у, z)ds

в максимум или минимум.

Пусть С-искомая кривая, а Су - проведенная на поверхности между теми же двумя точками А к В бесконечно близкая кривая. Обозначим через X, у, г координаты точки М кривой С. Тогда координаты бесконечно близкой к ней точки Му кривой С\ будут

JC, = jf + 8jc, У1 = у + 8у, г, = г+8г,

где для краткости несколько изменены обозначения, принятые в п. 146, и пишется 8д:, 8у, Ьг вместо е£, ет),

Если отбросить величины, содержащие еЗ, то согласно выкладкам, приведенным в п. 146 для вариации 8/ интеграла /, соответствующей переходу от кривой С к кривой Q, имеющей те же концы, получается выражение

+ by[l.s-.(,f)] + ..[U..-.(.§)]).

В рассматриваемом случае эта вариация должна быть равна нулю при переходе не к произвольной бесконечно близкой кривой, но к бесконечно близкой кривой, лежащей на поверхности. Вследствие этого не все три вариации Ьх, Ьу, Ьг произвольны; если

f(x, у, 2) = О

есть уравнение поверхности 5, то должно выполняться условие

-+-8г = 0.

которое выражает, что вариация функции f{x, у, г) равна нулю при переходе от С к Су, й которое показывает, что одна из вариаций, например Ьх, есть функция двух других вариаций 8у и Ьг, которые остаются произволь ными. При этом условии, обозначая через X произвольную функцию, получим

.Л(1+-+1")*=»-

Вычтем этот равный нулю интеграл из 8/. Получим (В)

(-lf)--4l)]+"-}





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 [59] 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037