Главная Промышленная автоматика.

Эти три уравнения приводятся к двум, что может быть непосредственно проверено, если их сложить, умножив предварительно на ~

CLS CIS

и тогда, принимая во внимание хорошо известные соотношения

МЫ придем к очевидному тождеству

Уравнения (3) после замены ds выражением \dx-\-dy-\-dz приводятся к двум уравнениям второго порядка, общий интеграл которых определяет у и 2 в функции х и четырех произвольных постоянных:

j/ipCx, Ci, с2, Cg, c),

z = Xix, q, c2, c3. c4).

Постоянные определяются из того условия, что кривая проходит через две заданные точки А к В, откуда получаются четыре уравнения для определения четырех постоянных. Таким образом определяются искомые кривые, соединяющие две точки. Не все эти кривые дают для интеграла максимум или минимум, но среди них находятся именно те, которые осуществляют максимум или минимум. Так как общие уравнения кривых С содержат четыре произвольных постоянных, то одна из этих кривых определяется четырьмя условиями. Кроме исключительных случаев можно, например, предположить, что кривая проходит через заданную точку и имеет в ней заданную касательную. Легко проверить, что если ср - постоянная, то кривые С, получаемые интегрированием уравнений (3), как мы это знали уже заранее, являются прямыми

уСуХСч, 2=СзХ4-с4.

Уравнения (3) показывают, что искомые кривые С являются фигурами равновесия нити, находящейся под действием силы F, имеющей силовую функцию - ср (х, у, г), причем натяжение нити должно иметь значение ср(х, у, г). Наоборот, пусть нить

щая максимум или минимум, должна удовлетворять уравнениям



и во всех случаях o6paaiaeT в нуль вариацию этого интеграла! (Мёбиус, Статика, ч. 2, гл. VII).

147. Формула Тэта и Томсона. Лрэделанные нами вычисления, при несколько иной интериретации, луиводят к важной теореме Тэта и Томсона. Пусть С-дуга одной из кривых, удовлетворяющих уравнениям (3),

имеющая концы Л и В, и пусть Ci -- другая кривая, бесконечно близкая к первой и имеющая концы Ау и By. бесконечно близкие к А п В (рис. 9Э). Как и выше, можно перейти от кривой С к кривой С;, полагая

yi = y + E-ti, г1=г-Ье:

с той только разницей, что sj, е-г), еС не обращаются больше е нуль на пределах а и Ь, но при q - а имеют значения (е;),, (ет,),, (eC)i, равные проекциям на оси координат отрезка ААу, а при q = b - значения (е),., (£Т]).>, (е)о, равные проекциям отрезка ВВу. Разность Д - / значений интеграла J 9 ds вдоль кривых С] и С по-прежнему о-лределяется из формулы (2),

в которой проинтегрированная часть, образующая первый член, не равна больше нулю, в то время как интеграл У, стоящий во втором члене, равен нулю, так как кривая С удовлетворяет, по предположению, уравнениям (3) и все элементы интеграла / равны нулю. Следовательно, пренебрегая а формуле (2) членом второго порядка малости еК, имеем


/, / = 57 = е

1. dx , dy . dz\

Значения е£, etj, еС на пределах а п b указаны выше; обозначим через <)> (Л) и <р (В) значения функции f в точках А и В; заметим,

наконец, что так как , -г-, суть направляющие косинусы а, i

as CIS do

касательной МТ к кривой С, направленной в сторону возрастания дуги, т. е. от Л к В, то значения указанных величин на обоих пределах равны направляющим косинусам aj, Pi, Yi и ag, р, -( двух касательных Л7"1 и ВТ", на обоих концах. Следовательно, для о/ получается выражение

находится в равновесии и уравнения равновесия суть (Т

ds=0.....причем Т - - {Uh). Если на нити взягь две

фиксированные точки Л и fi, то фигура разиовесия в обием случае придает максимальное или минимальное значение интегралу

cprfs, ср=:- ((У--/г)




а/ = - BBitp (В) cos АВВу.

Ь1 должна быть равна нул 1тельно, угол АВВу долже! 11ил,ижснип njtvn и\ на поверхности 2 и иско.мая криван пир.иильна к. этой поверхности. Точно так же она нор.иальна и к поверхности S. В частности, если <==\, то получается известный элементарный результат.

Так как вариация Ь/ должна быть равна нулю, то нулю должен быть равен косинус. Следовательно, угол АВВу должен быть.прямым для всех положений точки By на поверхности S и искомая кривая С нормальна

которое имеет простую геометрическую интерпретацию. Величина

Представляет собою проекцию отрезка ВВу на касательную S7",; она равна BBi cos ТфВх, точно так же вторая величина, содержащаяся в о/, равна AA-i cos Окончательно,

- AAy (A) cos KaAx,

или в более симметричной форме

6/= -Z4icf (.4)cos BAAir- BBi9{B)cos iSBi, (4)

так как угол ABB является дополнительны.м к углу ТоВВу, а угол ВЛАу равен углу ТуААу.

Фор.чула (4) Тэта и Томсона совершенно аналогична хорошо известной элементарной формуле, выражающей изменение длины отрезка прямой, и получающейся из этой при ср = 1 (см. Бертран, Кдос диффере.чциального исчисления, стр. 22).

Следствия, которые получаются из формулы (4), гождествеины с теми, которые выводятся из аналогичной формулы для npiTMiJx в теории разверток и в теории параллельных кривых и поверхностей. Мы укажем здесь те следствия, которые приводят к интересным результатам в теории брахистохрон, в, теории принципа наименьшего действия и в задаче рефракции. Мы предполагаем в последующем, что функция tp Н8 обращается в нуль в рассматриваемой области пространства.

1". Приложение. Даны две поверхности S и I. Какую кривую нужно провести от одной поверхности к другой, для того, чтобы интеграл I, взятый вдоль этой кривой, имел .максимум или минимуме Пусть А п В р г 100 (рис. 100) - две неизвестные точки, в которых иско.мая кривая пересекает

обе поверхности. В частности, эта кривая будет одной из тех, соединяющих точки А Yi В, которые обращают интеграл / в максиму.м или .минимум. Следовательно, это - одна из кривых С, определяемых уравнениями (о\ Для определения точек А а В заметим, что при переходе от кривой АС В. которая обращает интеграл / между двумя поверхностями в .максимум или минимум, к произвольной бесконечно близкой кривой, и, в частносги, к другой бесконечно близкой кривой С, вариация Ы должна быть равна нулю. Вычислим эту вариацию при пере.ходе от кривой АСВ к другой бесконечно близкой кривой С; пусть это будет кривая АЕВу, которая выходит из той же самой точки А и оканчивается в точке By поверхности 2. Тогда на основании полученной выше формулы





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 [58] 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0053