Главная Промышленная автоматика.


поверхности вертикального цилиндра является кривой, которая при развертывании цилиндра на вертикальную плоскость обращается в цепную линию. Фигурой равновесия тяжелой однородной цепочки на круговом конусе с вертикальной осью является кривая, которая при развертывании конуса обращается в фигуру равновесия нити, каждый элемент которой притягивается или отталкивается неподвижной точкой (вершиной конуса) с постоянной по величине силой. Дифференциальное уравнение этой KpHBoii было нами найдено (п. 141).

III. Исследование одного определенного интеграла

146. Геометрическая задача. Нахождение фигуры равновесия нити в случае существования силовой функции может быть сведено при помощи интересного приема к отысканию максимума или минимума некоторого определенного интеграла, который встречается также при определении брахистохрон, при доказательстве принципа наименьшего действия и в общей задаче рефракции.

Пусть ср(х, у, z) - непрерывная функция декартовых координат точки, определенная в некоторой области пространства, включающей

все кривые, которые мы будем рассматривать. Разрешим сначала следующую задачу геометрии.

Среда всех кривых, соединяющих две неподвижные точки А а В (рис. 98), найти такие, которые обращают интеграл

/= 1" ({х, у, z)ds

в максимум или минимум. В этом интеграле ds обозначает элемент длины кривой, и интеграл распространен на всю кривую между точками .4 и В. Нетрудно представить себе, что для некоторых кривых С интеграл / имеет максимум или минимум. Например, если функция э(х, у, г) положительна при всех значениях х, у, г, то интеграл / будет положительным и не сможет обратиться в нуль; он будет тогда, очевидно, иметь минимум. В частности, если f(x, у, г)==1, то значение интеграла / равно длине кривой, соединяющей точки А и В, и кривая С, вдоль которой интеграл имеет минимум, есть прямая АВ.

Пусть, в общем случае, С - кривая, обращающая интеграл в максимум или минимум. Выразим координаты х, у, z точки Л4 этой кривой в функции какого-нибудь параметра q, который изменяется в пределах от а до Ь, когда точка М описы.вает дугу ЛМВ. Обозначим через х, у, ? гпоиззодиые от х, у, 2 по q а положим



/= Jcp(x. у, z)Rdq.

Для того чтобы выразить, что интеграл / имеет минимум, достаточно выразить, что значение того же интеграла, взятого вдоль произвольной кривой Су, бесконечно близкой к С и соединяющей точки А и В, больше чем /.

Пусть Tj, с - произвольные функции от q, обращающиеся в нуль на пределах а и b н имеющие производные I, г{, С. Положим

Xy = x + z%, jjj + eT], 2i = 2 + e!:, (My)

где s - бесконечно малая постоянная. Когда q изменяется от а до Ь, точка My с координатами Ху, уу, Zy описывает кривую Су, бесконечно близкую к С и проходящую через точки А » В. Имеем вдоль кривой Су

А = / ср (X., Уу, Zy) Ух + /I + dq.

Для оценки значения разности /у - /, т. е. вариации Ы интеграла при переходе от кривой Су к кривой С, разложим по возрастающим степеням s, останавливаясь на членах второго порядка. Имеем

где написано ср вместо ср(х, у, z). Перемножая почленно, получим

Уу, < + ср/?

Умножая обе части на dq, интегрируя от а до й и замечая, что

Rdq = ds. -~,=-

дЛ х dx dR dy dR dz

dx R ds dy ds dz ds

Имеем

ds = R dq,

и интеграл / вдоль С будет иметь значение



Освободимся от %, тг), с интегрированием по частям. Имеем

1И две аналогичные формулы для членов с т) и С Следовательно, окончательно,

где положено

Проинтегрированная часть равна нулю, так как I, i\, Z, обращаются в нуль на пределах а и Ь. Для того чтобы интеграл / вдоль кривой С был максимумом или минимумом, надо, чтобы знак разности /j - / сохранялся при любых бесконечно малых положительных или отрицательных значениях е. Надо, следовательно, чтобы коэффициент J при s равнялся нулю, так как, в противном случае, для достатоточно малых значений s разность - / будет иметь знак величины sJ. Следовательно, для того чтобы был максимум или минимум, необходимо, чтобы интеграл, который мы обозначили через J, равнялся нулю, и это должно быть каковы бы ни были произвольно выбранные функции tj, С. Но это условие требует, чтобы в интеграле J коэффициенты при Е, tj, С были тождественно равны нулю; в противном случае, выбирая для , т), такие функции, которые при всяком значении q имеют такие же знаки, как и соответствующие коэффициенты, мы сделаем положительными все элементы интеграла J, который, очевидно, будет тогда отличным от нуля. Таким образом, искомая кривая С, осуществляю-

получим





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 [57] 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0043