Главная Промышленная автоматика.

не содержат явно s, можно привести число неизвестных к четырем, заменяя везде ds через

Ydx + dy+dz

и вычисляя, например, г, у, Т, \ в функции х.

Для нахождения натяжения в общем случае мы имели

dT:=~{Xdx-irY dy-irZdz). Здесь эта формула переходит в следующую:

dT = -


Так как нить лежит целиком на поверхности, то коэффициент при X обращается в нуль и остается та же формула (2), что и для свободной нити. Если имеется силовая функция U (х, у, z), то

dT = - dU, T = - (U+-h).

Например, если положить тяжелую однородную нить на поверхность, .то, направляя ось Ог вертикально вверх, найдем, что сила F параллельна этой оси, направлена в противоположнзю сторону и равна по абсолютному значению весу р единицы /7> длины нити. Тогда

dTpdz, T = p(z - h).

Рассмотрим плоскость z - h. Только что полученная формула показывает, что натяжение в точке (рис. 96) равно весу части нити, равной расстоянию MQ от точки М до этой плоскости. Если, следовательно, удалить часть MB нити и оставить свешиваться через блок в точке М часть нити, равную MQ, то равновесие не нарушится.

144. Примеры. 1°. Геодезические линии. Наиболее простым будет тот случай, когда на нить, растянутую на поверхности, не действуют никакие другие силы, кроме нормальной реакции N. Тогда предыдущее уравнение переходит в dT ~0 и натяжение нити получается постоянным. Нить расположится по геодезической линии поверхности. Действительно, так как соприкасающаяся плоскость в какой-нибудь точке должна содержать силу Л, то она будет нормальной к поверхности, что характеризует геодезическую линию.

Применим это к сфере. Так как реакции проходят через центр, то нить находится под действием центральных сил. Следовательно, ее фигура равновесия лежит в плоскости, проходящей через центр, и будет поэтому дугой большого круга.

Известно, что линия наименьшей длины, соединяющая две точки на поверхности, является одной из геодезических линий, проходящих через эти точки. Однако было бы неточным сказать, что каждая из геодезических линий будет минимальной по сравнению с бесконечно близкими линикл!и. Например, дуга большого круга, большая 180°, соединяющая две точки на сфере, является геодезической линией. Между тем возможно найти между этими двумя точками путь бесконечно близкий и в то же время более короткий. Наоборот, на замкнутом цилиндре все геодезические линии.

Рис. 96.



(й2 z") V(h - г)2 (a2 - z3) -

откуда определяем выражение 8 через г при помощи квадратуры. Переменная Z может принимать лишь такие значения, для которых многочлен

<f (г) = (А - zf (а2 - г) -

положителен. Следовательно, обозначая через Zq координату г какой-нибудь точки нити, например одной из точек закрепления, имеем (zq) > 0. Но tf {а) и tf(-а) отрицательны, и поэтому многочлен ср(г) имеет один корень а между го и а и один корень р между Zg и - а. Переменная z может изменяться только между пределами аир. Кривая на сфере расположена между двумя параллелями аир, которых она попеременно касается. Координаты X, у, Z точки кривой можно выразить через однозначные функции параметра и, определяемого уравнением

, adz

du = -

У(Л -г)2(й2 -2) -Л2

(См. статью Аппеля в Bulletin de la Societe matiiematique, 1885 и статью Гомеца Тейксейра в Annales scientificos da Academia Polytechnica do Porlo, T. IV, 1909.)

145. Естественные уравнения равновесия нити на поверхности.

Пусть АА - кривая равновесия. At - касательная к ней в точке А в направлении положительных дуг. An - нормаль в точке А к поверхности, считае-

являющиеся винтовыми линиями, будут минимальными. Существзгет бесчисленное множество этих линий, соединяющих две точки на поверхности. Их можно получить, натянув по поверхности между этими точками нить и обернув ее один, два, ... раза вокруг цилиндра.

2°. Сферическая цепная линия. Фигура равновесия однородной тяжелой нити на сфере была исследована Бобилье (Жергоннь, 1829), Миндингом (Crelle, т. 12) и затем Гудерманом (там же, т. 33), который дал выражения интегралов при помощи эллиптических функций. Решение было дополнено Клебшем (Crelle, т. 57, § 6), Бирманом (Dissertation inaugurale, Берлин, 1865) и Шлегелем (Programm des KSniglichen Wilhelms Gymnasium, Берлин, 1884).

Приняв центр сферы за начало координат, направив ось z вертикально вверх и, обозначив через р вес единицы длины нити, получим сначала для натяжения 7" значение р{г - К) (п. 143). Так как равнодействующая сил (веса и реакции), приложенных к ds, находится все время в одной плоскости с осью Oz, то момент натяжения относительно этой оси постоянен. Следовательно, взяв в плоскости хОу полярные координаты гиб, получим

Tr--db = Cds,

где С - произвольная постоянная. Заменив в этом уравнении Т его значением и написав А вместо С, получим дифференциальное уравнение фигуры равновесия

{z - K)rid = Ads.

Для интегрирования этого уравнения возведем его в квадрат и заметим, что вследствие соотношения

где а - радиус сферы,

rfs2 = rfr- -f г" dea + dz" = - + г2 d%\ Разрешая относительно получим

Аа dz



мая положительной в направлении от точки А к центру кривизны О нормального сечения, проведенного через At, и R - радиус кривизны АО этого сечения (рис. 97). Если С -центр кривизны нити в той же точке А я ДС = р - радиус кривизны нити, то по теореме Шнье р = /? cos 8, где 8 угол САО. Обозначим, наконец, через Ар проекцию направления АС на касательную плоскость к поверхности в точке А. Элемент ds нити находится под действием заданной силы Fds и нормальной реакции Nds, считаемой положительной в направлении АО. Равнодействующая (F)-\-iN) двух сил F к N, на основании естественных уравнений равновесия свободной нити,

dt Т

равна равнодействующей сил - "--~ • направленных соответственно по At и АС. Следовательно, сумма проекций сил F N на какую-

нибудь ось равна сумме проекции сил--- и

f Рис. 97. --на ту же ось. Спроектируем силы (F) и

(Л) последовательно на оси At, Ар, An. Тогда, обозначая через Ff, проекции на эти оси силы F, получим


dT 7- . ,

--- = Ft, -- sin I

ds * p

= Fp,--cos 8 = /=„ -f iV.

Из последнего уравнения получим реакцию N:

N =--cos

Первые два уравнения являются естественными уравнениями равно-

весия нити на поверхности. В этих уравнениях величина

sin 8

является

радиусом геодезической кривизны нити.

Например, для сферической цепной линии (п. 144) Fn обозначает проекцию веса р на радиус сферы; следовательно, Fn равно р-. Так как R равно радиусу а сферы и Т равно p{z-Л), то нормальная реакция для сферической цепной линии равна - {2z - h). Если нить находится между

двумя бесконечно близкими сферическими поверхностями, то она давит на внутреннюю сферу в точках, где это значение N положительно, и на внешнюю сферу - в точках, где оно отрицательно. Точки, где N = 0, являются в горизонтальной проекции точками перегиба.

Вернемся к общему случаю. Допустим, что нить находится в равновесии и будем деформировать поверхность таким образом, чтобы длины начерченных на ней линий не изменялись. Тогда геодезическая кривизна этих линий остается неизменной. В то же время сохраним для натяжения нити те же значения и изменим F таким образом, чтобы F и Fp не изменились. Тогда два естественных уравнения равновесия будут по-прежнему удовлетворяться, и нить останется в равновесии. Изменится только реакция Л.

Вследствие vsoto нахождение фигуры равновесия нити на развертывающейся поверхности может быть сведено к случаю, когда эта поверхность - плоскость. Например, фигура равновесия тяжелой однородной цепочки на





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 [56] 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037