Главная Промышленная автоматика.

Ве.тчина у, начиная от нуля, может изменяться только в преде.гах

-У62 -и +У*3 а;2.

Построим кривую. Допустим, что нить закреплена в точке О (рис. 94) и что она расположена в углу уОх. Тогда х сначала возрастает вместе с у,

-- положительно и dt

Когда у возрастает, х тоже возрастает, причем до тех пор, пока у не сделается равным - д2 Тогда х достигает значения

Таким путем получается ветвь ОМАу. Касательная в Ai горизонтальна. Начиная с этого значения, у убывает, и для того, чтобы х продолжало возрастать, необходимо взять перед У<р(у) знак - . Так получается вторая ветвь АхМ]Р\, симметричная с первой ветвью ОМАу относительно ординаты АуВу, так как одинаковым изменениям у отвечают одинаковые изменения х. При у = О получается точка Оу с абсциссой 2$. После этого у, становясь отрицательным, может убывать до значения - Yb - я\ При этом абсцисса будет все время возрастать до значения 3£, что соответствует точке А, в которой касательная горизонтальна. После

этого у снова возрастает от -Yb - " яо -\-Yb - u- Начиная от точки Ai, необходимо брать перед радикалом знак -\-, и получится дуга AfioA, пересекающая ось в точке Ог с абсциссой 4S и т. д. Все получаемые таким образом последовательные волны тождественны с первой, и кривая аналогична синусоиде.

Уравнения легко интегрируются в эллиптических функциях. Положим в уравнении (С) кривой

-я2 2й2


Рис. 94.

ytYb>-a:\ Ш = Тогда оно принимает вид

xY

b-i + a-

< 1, \ - ki = k" -

ai -- •

J •У(1 2)(1

откуда

:У2-



Сделав в этой формуле подстановку (1), мы получим для абсциссы 5 точки и для длины X дуги ОАу следующие два выражения:

ak М ak

{\ + k-~2k"-fi)dt

так как для точки Ay величина t равна 1.

Когда X и S даны, причем X должно быть больше, чем 5, так как дуга ОАу больше своей проекции ОВу, то постоянные величины а и имеют единственную систему значений при условии, что li<\. В самом деле, вычисляя X - S и Х--$,

имеем

- /2

кЧ"-


Рис. 95.

При А2 = о отношение в правой части равно нулю; при увеличении k" числитель будет, очевидно, возрастать, а знаменатель убывать и, следовательно, отношение будет возрастать. При k" = 1, оно обратится в единицу. Таким образом, это отношение проходит один и только один раз через заданное значение

, > . Следовательно, постоянная k" будет иметь одно и только одно зна-A.-f-«

чение. Тогда из выражения (2), написанного для 5, получим для а единствен-1/2"

ное значение .

Определение постоянных. Так как нить имеет заданную длину I и закреплена в точке О и в точке О оси Ох с абсциссой а, то может представиться бесчисленное множество случаев.

1°. Нить имеет только одну полуволну между О и О (рис. 95). Тогда £ равно половине а, а X - половине /. Величины £ и X известны и постоянная k имеет значение, определяемое формулой (3); после

этого а =

2Кк

Дифференциал ds дуги кривой будет



3°. Вообще, если нить имеет п полуволн между О и О, то ; = ,

/ = --, к- имеет всегда одно и то же значение, но я == --гггт • т 2пКк

Следовательно, существует бесчисленное множество положений равновесия, которые все подобны первому относительно точки О с отношением подобия 1/2. vs vi- (См. Anne ль и Л я к у р, Theorie des fonctions

elliptiques.)

143. Равновесие нити на поверхности. Пусть f {х, у, г) - <д -

уравнение поверхности, отнесенное к трем прямоугольным осям. Нить находится под действием непрерывных внешних сил. Обозначим через F {X, Y, Z) силу, отнесенную к единице длины, в рассматриваемой точке.

Нить может скользить без трения, и реакция поверхности на элементе ds направлена по нормали. Пусть N - реакция, отнесенная к единице длины; ее проекции равны

дх ду oz

Можно считать, что нить находится в равновесии под действием сил Fds и N ds, имеющих равнодействующую Ф ds. Применяя общие формулы равновесия нитей, имеем три уравнения

rfs у ду

ds = 0.

ds = 0.

ds=0.

которые совместно с уравнениями

определяют х, у, z, Т \\ \ в функции 5. Когда X известно, то известной будет также и нормальная реакция, которая направлена относительно поверхности /=0 в сторону, где / положительно или отрицательно, в зависимости от того, будет ли \ положительно или отрицательно. Так же, как и для свободной нити, если X, Y, Z

2°. Нить имеет две полуволны между О и О. Тогда S = X = ,

а к- имеет то же значение, что и в предыдущем случае, так как ""

и.меет то же значение -- . После этого X -- а

а-





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 [55] 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0038