Главная Промышленная автоматика.

Пусть р - вес единицы длины цепочки. На элемент ds действует сила pds, направленная по вертикали. Следовательно, фигурой равновесия является плоская кривая, расположенная в вертикальной плоскости, проходящей через точки подвеса. Примем эту плоскость за плоскость ху и направим ось у вертикально вверх. Тогда

Yds = -pds, Y-p. и уравнения равновесия будут:

7- = Л

Ady - pds= 0.

(1) (2)

Можно всегда предполагать, что А - число положительное. Действительно, Т - существенно положительно; следовательно, если на кривой выбрать такое направление обхода, чтобы х н s возрастали одновременно,

то производная будет положительной и постоянная А будет, вследствие

этого, тоже положительной. Мы можем обозначить ее через ра, где а -

положительная величина. Заменим ds его значением

fl-s = -f VT+ydx.

Тогда уравнение примет вид dy

Интегрируя, найдем

Рис. 91.

Отсюда следует, что

X-Xt,

/-/1 + у2=-Г «

(3) (4)

Складывая эти два уравнения, получим у и, снова интегрируя, найдем уравнение кривой

/ х-х х-а

->о = Y

с -х,\

Перенесем начало в точку Oi(xo, у) (рис. 91); тогда новое уравнение кривой будет

Это - уравнение цепной линии, которая симметрична относительно оси 0-iyi, ось ОуХу называется ее основанием.

Вычитая уравнение (4) из уравнения (3), получим

/l+y=i.(. « +е

х-хЛ



- Уо = 2

Чтобы получить третье уравнение, напишем, что нить должна иметь длину /. Имеем

ds ==Y \у dx Ы е " -\-е

и, интегрируя в пределах от О до а, получим длину нити:

1.-х.- а-ж„ ж.

1=\е - +е -е - e j (3)

Вычитая равенство (1) из равенства (2), мы исключим уо и ползучим

" (4)

Уравнения (3) и (4) определяют а и х. Из них легко находим:

(Ct-Ж,, -""1 " \

/ 0.-ХЛ X../

Z-p=aV"~ " ) = ae\l~e Для исключения х достаточно почленно перемножить эти равенства. Тогда

;2 р2 = а2С°" -f е" -2). ( -

Скобка равна квадрату величины Хе" - е "/; следовательно, + /Z2Z:j2 =±а{е-е~).

а из формулы (1) получим для натяжения

ах а

Отсюда мы видим, что натяжение нити в точке М равно весу части нити, длина которой равна ординате MQ этой точки над базой. Следовательно, если в точке М поместить бесконечно малый блок и дать возможность части нити, расположенной выше точки М, свободно свешиваться, то равновесие не нарушится, если свешивающаяся часть будет равна MQ.

140. Определение постоянных. 1°. Концы закреплены. Уравнениз цепной линии содержит три постоянных х, уо, а, которые определяются из условий на концах. Согласно принятому ранее условию постоянная а должна быть положительная. Примем за начало О точку закрепления, расположенн}ю более низко, и направим ось х таким образом, чтобы вторая точка закрепления Р находилась в квадранте между положительными координатными осями. Пусть а и р - координаты этой точки, I - длина нити (рис. 91). Напишем условия, выражающие, что кривая проходит через обе точки О (О, 0) и Р{а, р):

-Уо = \е « (1)

"[ie " j. (2)



Может показаться, что следует рассматривать два знака. Но согласно

( ~ -~)

выбору осей величины а и а, и поэтому также яуе" - е "/. должны быть положительными, вследствие чего надо брать только знак +. Положим

= и. Неизвестная и положительна и для нее уравнение имеет вид

Нам нужно найти положительные решения этого уравнения. Заменяя его 1;равую часть разложением в ряд, получим

l-2-З" 1-2-3-4-5

(2л + 1)!-

Здесь правая часть монотонно возрастает от 1 до бесконечности, когда и возрастает от О до бесконечности. Вследствие этого для того, чтобы существовал положительный корень, необходимо и достаточно, чтобы левая часть была больше 1. В этом случае уравнение будет иметь один и только один положительный корень. Следовательно, единственным условием возможности задачи будет

лГ f 8 г

т. е. длина нити должна быть больше расстояния между точками подвеса. Если это условие выполнено, то можно будет определить и и, проследив за всем ходом вычислений, можно легко убедиться, что для трех постоянных а, Xq, Уо будет получаться одна-единственная система значений. Следовательно, в этом случае существует одно и только одно положение равновесия.

Пусть и - положительный корень уравнения для к. Это уравнение имеет также отрицательный корень -и. Пуансо интерпретирует это решение следующим образом: перевернутая цепная линия, для которой и = - и, является фигурой равновесия особого свода, образованного равными бесконечно малыми, идеально отполированными твердыми шариками.

2°. Концы скользят по двум прямым. Допустим, что однородная тяжелая цепочка имеет длину I и что ее концы А и В скользят без трения по двум данным прямым PQ и PR, расположенным в одной вертикальной плоскости (рис. 92). Требуется определить постоянные Xq, уо, а таким образом, чтобы цепная линия пересекала обе прямые линии под прямым углом и чтобы ее д:уга АВ между этими линиями имела заданную длину I.

Предлагая аналитическое решение в качестве упражнения, мы дадим здесь геометрическое решение задачи. Мы будем основываться на том, что ; ве цепные линии, имеющие параллельные основания, подобны, и что, наоборот, фигура, подобная цепной линии с горизонтальным основанием, ):вляется другой цепной линией, расположенной таким же образом. Вообразим вспомогательную цепную линию С с горизонтальным основанием и проведем к ней две нормали АР и ВР, параллельные заданным прямым QPuRP, что всегда возможно и притом единственным образом, так






0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 [53] 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037