Главная Промышленная автоматика.

в направлении возрастающих дуг; обозначим через а, р, ( направляющие косинусы главной нормали Мп, направленной в сторону вогнутости (рис. 90), и через р-радиус кривизны. Известны формулы Френе и Серре:

ds р ds р ds р и, следовательно, первое уравнение равновесия

(Га) + Х=0

может быть написано в следующем виде

rfs р Таким образом, получаем три уравнения

Л-- а-}--а -,

ds р

< ds р

7 dT ,Т

Эти уравнения показывают, что F есть результирующая двух отрезков, отложенных соответственно на касательной и на главной нормали и имеющих алгебраические значения, отсчитываемые в направлениях Mt и Мп,

равные - и -у. Сила F находится.

следовательно, в соприкасающейся плоско-сги кривой и направлена в сторону выпуклости и в сторону убывания натяжения. Ее проекции на касательную, главную нормаль и бинормаль определяются формулами

«-у. ь=-0. (5)

которые и являются естественными уравнениями равновесия.

Если сила всюду нормальна к нити, то F

водная -j тоже равна нулю. Следовательно, натяжение Т постоянно.

137. Формула, определяющая натяжение, когда существует силовая функция. Умножим уравнения равновесия (4) соответственно

на а, 3, т и сложим. Тогда, заменяя а. В, т через

ds ds ds

получим dr=-{XdxY dyldz).


Рис. 90. : 0. Тогда произ-



что является не чем иным, как первым из естественных уравнений (5).

Это последнее уравнение очень важно. Оно позволяет сразу определить натяжение, когда X, Y, Z зависят только от х, у, z а имеют силовую функцию U (х, у, г). Тогда, обозначив через k постоянную, получим

dT = - dU, T=~{U-\-h),

что позволяет определить натяжение в конечной форме, не зная фигуры равновесия. Это значение натяжения следует внести в,уравнения равновесия, после чего они приведутся к двум уравнениям.

Когда и принимает свое первоначальное значение, то то же самое будет и с натяжением. Следовательно, если U - однозначная функция, то натяжение будет одним и тем же во всех точках нити, лежащих на одной и той же поверхности уровня. Но если функция U

не однозначна, если, например, = arctg-j, так что поверхности

уровня суть плоскости у - xigC, и если нить пересекает какую-нибудь из этих плоскостей несколько раз, то натяжение может иметь одно из значений С + Ы. Здесь можно повторить для натяжения все, что было сказано в главе IV относительно полной работы.

138. Параллельные силы. Наиболее простым случаем будет тот, когда внещние силы параллельны одному и тому же направлению. Фигура равновесия будет тогда плоской кривой, плоскость которой параллельна направлению сил, и проекция натяжения на перпендикуляр к этому направлению будет постоянна. Эти два свойства могут рассматриваться как следствия аналогичных свойств, полученных для веревочного многоугольника. Мы докажем, однако, эти свойства непосредственно.

Допустим, что ось Оу параллельна общему направлению сил. Тогда X VI Z будут все время равны нулю и после интегрирования первого и последнего из уравнений равновесия (3) получим

ds ds

Исключим из этих уравнений Т. Получим Adz - Bdx=0,

откуда

Аг - Вх=С.

Это - уравнение плоскости, параллельной оси Оу. Следовательно, первая часть нашего предложения доказана. Примем эту плоскость за плоскость ху. Тогда можно составить два уравнения равновесия



C0S2 а

то из предыдущего уравнения получим для р постоянное значение, и сле-дозательно, фигура равновесия есть окружность.

139. Цепная линия. Приложим эти вычисления к нахождению фигуры равновесия однородной тяжелой цепочки. Галилей считал, что этой фигурой является парабола. Ошибку Галилея исправил Гюйгенс.

Внося ВО второе уравнение значение Т из первого и обозначая dy

через у производную получим соотношение

Ady~\-Yds = О, (6)

которое является дифференциальным уравнением фигуры равновесия. В наиболее общем случае равновесия нити сила может быть функ-

dx dy „

цией шести величин х, у, z, s, Сейчас, поскольку кривая

плоская, имеем 2 = 0 и ()" + () - 1- Следовательно, Y должно быть функцией переменных х, у, s, у. В случае, когда Y зависит только от одной из величин х, у, s, у, задача приводится к квадратурам.

Пусть, например, Y = f (х). Заменяя ds его значением "j/l -j-yrfx, мы видим, что переменные у к х разделяются, и после интегрирования получается

Л1п(у+1/ГТР) + ff(x)dx = C.

Из этого уравнения можно определить у в функции х, после чего у находится новой квадратурой.

Пусть теперь Y = f{y). Тогда можно принять ds=-у-dy

и в уравнении (6) переменные сразу разделяются. В случае, когда существует силовая функция, натяжение, как мы видели, может быть вычислено сразу.

Наконец, если Y есть функция только s или только у, то уравнение (6) интегрируется сразу.

Естественное уравнение. Пусть а - угол между касательной к кривой равновесия и осью х и пусть р - радиус кривизны в точке касания. Если

написать, что абсолютная величина нормальной составляющей силы есть -,

то получим

К cos а = - , Р

И так как проекция 7" cos а силы натяжения на ось Ох равна постоянной величине А, то дифференциальное уравнение кривой будет

Кр cos2 а = А.

Это уравнение идентично уравнению (6). Если, например,





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 [52] 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0039