Главная Промышленная автоматика.

это означает, что натяжение направлено по касательной к кривой. К этому же результату можно прийти, рассматривая нить как предел веревочного многоугольника. Общее значение трех отношений равно, очевидно, ± ds; но натяжения должны быть направлены так, чтобы нить растягивалась. Для этого натяжение Т должно быть направлено в сторону возрастающих дуг. Поэтому надо взять знак -f-. Следовательно,

dx „ dy dz

Внеся эти выражения в уравнения (1), получим: d(T~-{-XdsQ,

d[T)+Yds=0, \ (3)

и } равнения (2) являются следствиями уравнений (3).

131, Общие теоремы. Из уравнений (1) и (2) непосредственно получаем две следующие теоремы.

Если сила F перпендикулярна какой-нибудь оси, например оси Ох, то проекция натяжения на эту ось постоянна. Действительно, из условия X-Q получается Га=:const.

Если сила F постоянно находится в одной плоскости с какой-нибудь осью, например с осью Ох, то момент натяжения относительно этой оси постоянен. Действительно, из условия yZ - гУ = 0 получается у Т- - гТ = zonsi.

Эти две теоремы являются частными случаями следующей.

Если сила F всюду вдоль кривой принадлежит линейному комплексу, то момент натяжения относительно комплекса постоянен. В самом деле, если сила принадлежит линейному комплексу, то должно выполняться уравнение вида

pX-qY-\-rZ-\-a(j>Z - zY)-b(,zX-xZ) + c{xY - yX)Q,

Развертывая первое из уравнений (2), можем написать

T-dy + y d{T-) - Tdz - zd {Щ -f {yZ - zY) ds = 0.

В силу уравнений (1) члены z у к z уничтожаются, и тогда остается

,dy-dz = 0, =

Второе из уравнений (2) показывает, что

dx dy dz



образуют систему четырех дифференциальных уравнений, определяющих X, у, г и Г в функции S. Это - уравнения первого порядка относительно Т, но второго относительно х, у, z. Следовательно, их общий интеграл содержит шесть произвольных постоянных, в качестве которых могут быть, например, приняты значения шести величин X, у, Z, Т, ~ при начальном значении s=Sq. Таким образом, в общем случае

х = ср(5, С„ С.„ Q,

yis, Ci, Q.....Q,

2= (О (5, Ci, Сг.....Се),

r = /(s, С„ Сг.....Q.

133. Определение постоянных, условия на концах. Шесть произвольных постоянных можно определить по условиям на концах. Эта задача будет наиболее простой для случая нити заданной длины /, закрепленной своими концами Mq (Xq, Уо, Zq) и М (Xj, у, Zi). Приняв точку Мо за начало отсчета дуг и написав, что при s -О и при s = l величины х, у, z обращаются в координаты точек М и Му, мы получим шесть уравнений для определения шести постоянных. Далее необходимо будет исследовать эту систему, которая может допускать одно, два и даже бесчисленное множество решений.

Можно также предположить, что нить закреплена на одном конце Л1о(Хо, >о, г), а на другом имеет бесконечно малое колечко.

где р, q, г, а, Ь, с - постоянные. Заменяя в этом уравнении X через (>Z - - через jiy~{ - z)T, мы приведем его к уравнению, проинтегрировав которое, получим рТя -Ь qT 4- гТ1->гаТ{у1 - г)~\-ЬТ (га -Х7)+с7 (х-const.

Это уравнение выражает, что относительный момент (п. 28) натяжения и системы векторов, имеющих координаты р, q, г, а, Ь, с, постоянен. (Пеннакьетти, Rendiconti del Circolo math, di Palermo, T. VI.)

132. Общие интегралы. Наиболее общим случаем является тот, когда сила F, отнесенная к единице длины, зависит от положения и направления в пространстве элемента ds и от его положения на

нити. Тогда X, Y, Z будут функциями от х, у, г, s,

При этих условиях написанные выше три уравнения равновесия (3) совместно с уравнением



которое может скользить без трения по неизменяемой кривой С, заданной уравнениями

Ф(х. у, 2) = 0. I

W(x, у. 2) = 0. 1

Тогда три уравнения для определения постоянных получатся из условия, что при 5 = 0 величины X, у, Z равны х,у,2. Остальные уравнения определятся из условий, что при s - l значения Ху, у, величин X, у, Z удовлетворяют уравнениям (С) кривой и что направление натяжения, т. е. касательной в точке М, нормально к этой кривой, так как кольцо может скользить без трения. Таким путем получится шесть уравнений для определения постоянных.

Точно так же, если конец My нити может двигаться без трения по заданной поверхности, то надо выразить, что при s - l значения •i У1 1 удовлетворяют уравнению поверхности и что касательная в точке My к ней нормальна.

134. Случай, когда сила не зависит от длины дуги. Часто случается, что X, Y. Z не содержат явно s. Заменяя тогда всюду в равенствах (3) ds через Ydxdydz, можно будет принять х в качестве независимой переменной и тогда получатся три уравнения для определения у, г к Т в функции х. Общий интеграл будет тогда содержать только пять постоянных, например значения, которые принимают у, Z, Т, 1 при начальном значении х - х. Пусть

y=<f{x, Су.С.....Q,

2-(1>(х. Су, Сз, .... Q, T=f(x,Cy, Q.....Q

- общие интегралы. Если мы захотим выразить, что нить имеет заданную длину и закреплена своими двумя концами в точках (xq, Уо, 2q) и {Ху, уу, Zy), то нужно выразить, что величины у, z принимают значения •о "Ри х = Хо и значения Уу, Zy, при х -Xj и что длина нити равна /. Мы получим пять уравнений, необходимых для определения постоянных.

135. Замечание о натяжении. Найденное решение будет неприемлемо, если Т не будет положительным во всех точках кривой, так как если для какого-нибудь элемента натяжение Т будет отрицательным, то этот элемент будет испытывать сжатие, а не натяжение. Можно истолковать решение, в котором Т отрицательно, если предположить, что на нить нанизаны бесконечно малые твердые бусинки. Каждая такая бусинка будет испытывать давление со стороны предыдущей и последующей и равновесие будет осуществлено (Пуансо).

136. Естественные уравнения равновесия нити. Так называют уравнения равновесия, не зависящие от выбора осей координат. Мы уже обозначили через а, р, f направляющие косинусы касательной Mt





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 [51] 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037