Главная Промышленная автоматика.

в точках А к В, причем сила должна быть нормальна к эллипсу и направлена наружу, т. е. так, чтобы нить натягивалась. Давление кольца на нить будет тогда равно силе F. Элемент нити, находящийся в точке С, будет находиться под действием двух натяжений 7" и 7" и силы F. Так как последняя является биссектрисой угла между силами Г и Г и должна их уравновесить, то эти натяжения равны между собой

F=2T cos j-.

Теперь можно без труда исследовать случай нескольких колец. Если имеет место равновесие, то каждая из сил направлена по биссектрисе двух частей нити, примыкающих к соответствующему кольцу, натяжение 7" нити везде оди- /7<* наково и если F, F, - действующие силы, ai, «2, ... - последовательные углы между частями нити, то (Пуансо)

2 cos - 2 cos ~

Так как система находится в равновесии, то последнее, очевидно, сохранится, если каждое кольцо закрепить в занимаемом им положении. Следовательно, к этой фигуре равновесия можно применить все, что сказано относительно веревочных многоугольников. Для рассматриваемого случая все натяжения одинаковы и все верщины Ау, Ач, Аз,... веревочного многоугольника (рис. 79), кроме вершины А, лежат на сфере с центром в вершине А. Если многоугольник плоский, то все вершины находятся на окружности с центром в точке А.


129. Фермы. Рассуждения, аналогичные тем, которыми мы пользовались для веревочных многоугольников, приводят к условиям равновесия ферм, т. е. систем прямолинейных стержней, весом которых пренебрегаем, соединенных своими концами при помощи шарниров. Предполагается, что вся система находится под действием сил, приложенных только в шарнирах (иначе, в узлах). Так как каждый из стержней, например АВ, должен находиться самостоятельно в равновесии под действием двух сил, приложенных к его концам, то эти силы, являющиеся действиями узлов Л и В на стержень, должны приводиться к двум равным и противоположно направленным сжатиям или растяжениям. Каждый узел будет находиться ?. равновесии под действием непосредственно приложенных к нему сил и реакцяй примыкающих к нему стержней. Последние направлены вдоль соответствующих стержней, так как по закону равенства действия и противодействия действия стержней на узлы равны и противоположны действию узлов на стержни.

Пример. Система шести невесомых стержней, образующих правильный шарнирный тетраэдр SABC (рис. 88), подвешена с помощью трех вертикальных ннтей АА, ВВ, СС так, что основание АВС горизонтально.



К вершине S подвешен груз Р. Найти натяжения нитей и силы растяжения и сжатия стержней. Обозначим через 6 общее значение трех сил, растягивающих стержни SA, SB, SC. Проектируя на вертикаль и приравнивая нулю

сумму проекций трех сил в и силы Р, приложенных в узле S, получим


P -ei/6 = o, 6 =

pV&

так как косинус угла между ребром SA и

вертикалью равен . Стержни основа-о

ния испытывают сжатия; обозначим че рез р общее значение этих сжимающих сил, а через Г- общее значение натяжений нитей АА, ВВ, СС. Точка А находится в равновесии под действием силы 6, натяжения Т и двух сил р. Проектируя эти силы на вертикаль АА, получим:

7- =

)У"6

Рис. 88.

что ясно непосредственно, так как три силы 7" уравновешивают груз Р. .Проектируя далее четыре силы, приложенные в точке А, на высоту AD треугольника АБС, получим

бУз уз „ о

так как cos DAB =

и cos SAD ==

II. Равновесие нитей

130. Уравнения равновесия. Найдем условия равновесия нерастяжимой, гибкой нити, находящейся под действием непрерывных сил. Эта задача может рассматриваться, как предельный случай веревочного многоугольника, но мы рассмотрим ее непосредственно.

Обозначим через s длину дуги, отсчитываемую от какого-нибудь начала Л в каком-нибудь определенном ршправлении АВ (рис. 89). Мы будем предполагать, что внешние силы, действующие на элемент ds. могут быть представлены в виде одной силы Fds, порядка ds, приложенной в какой-нибудь точке этого элемента, Проекции этой силы будут

Xds, Yds, Zds,

где X, Y, 2--проекции вектора F, называемого силой, отнесенной к единице длины.

Если отбросить часть нити MB и рассматривать оставшуюся

часть AM, то для сохранения ее равновесия необходимо будет



приложить в точке ;VJ одну-единственную силу Т, так как нить предполагается идеально гибкой. Сила Т называется натяжением нити. Обозначим через а, р1, -у направляющие косинусы этого натяжения; его проекции суть

Тя, Т. r-f.

Если же, разрезав нить в точке М, отбросить часть МА, то согласно закону равенства действия и противодействия, для сохранения равновесия части MB необходимо приложить в точке Л4 силу - Т. Проекции этого нового натяжения равны

- Та, - Гр, - Г.

Разрежем нить в двух бесконечно близких точках М н и сохраним

только элемент ММ. Этот элемент будет в равновесии под действием приложенной к нему силы F ds и двух натяжений -Т 11 7,, котфрые заменяют действие отброшенных частей нити. Если

через Яу, 1. ti обозначить направляющие косинусы натяжения 7,, то его проекции будут:

Т,а„ Т

Напишем, что суммы проекций трех сил равны нулю. Тогда, замечая, что

Т,а,~-Ти = с1{Та), T, - Td(T. Т,-;, - Т;=а{Т-).


получим

d{Ta) + Xds = 0,

Моменты трех сил соответственно.

-Т, Ту и F ds относительно оси х равны,

-(уТ--гТ), yJi-; - zJ,%, {yZ-zY)ds,

где через х, у, z и Xj, у, Zy обозначены координаты концов дуги ds. Следовательно, сумма моментов сил -Г п Т равна d(yT- - 2 ГР) и по теореме моментов имеем:

d(yT- - zTf)-Jr{yZ - 2Y)ds=0, fif (2 Га - X 77)4-(2А-xZ) rfs = О, dixT - yTu)-i-(xY - yX)ds = 0. J





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 [50] 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0038