Главная Промышленная автоматика.

циями момента 00 вектора относительно той же точки. Но

тогда предыдущие равенства как раз и показывают, что 0G есть

геометрическая сумма векторов OG, OG.....0G„.

Примечание. Иногда представляется нужным разложить заданный вектор АР на другие векторы, приложенные в точке А, т. е. найти векторы, от сложения которых получится вектор АР.

Можно, например, всегда разложить при помощи параллелограмма вектор АР на два других, имеющих заданные направления АВ и АС, плоскость которых содержит АР.

Точно так же при помощи параллелепипеда можно разложить АР на три вектора, имеющих заданные направления АВ, АС, AD и образующих триэдр.

14. Произвольная система векторов. Главный вектор и главный момент. Пусть заданы произвольные скользящие векторы Р, Рг.....Рп приложенные в точках А, А.....Выберем произвольную точку О пространства и назовем:

1) главным вектором - геометрическую сумму OR векторов 0Р\, 0Р[, ОР, имеющих начало в точке О и равных заданным векторам;

2) главным моментом относительно точки О - геометрическую сумму 0G моментов ООр OGj, ..., 0G„ заданных векторов относительно той же точки.

Если менять положение точки О, то главный вектор не будет меняться ни по величине, ни по направлению, что вытекает из самого определения этого вектора. Напротив, главный момент 0G (рис. 12) изменяется за исключением случая, когда точка О перемещается по направлению прямой OR.

Приняв точку О за начало прямоугольных осей координат, обозначим через x,f, yj, координаты точки Л, через Xj, Fj, Zj - проекции вектора Pj и через Lj, Ж, Nj - его моменты относительно этих осей. С другой стороны, пусть X, Y, Z обозначают проекйии главного вектора OR и L, М, N - проекции главного момента 0G относительно точки О. Тогда, обозначая через 2 сумму, распространенную на все заданные векторы, получим

Х=Х, Y=Y, Z=:Zk, (R)

L = J,Lk. NN„. (G)


Рис. 12.



Пусть х\ у, z - координаты какой-нибудь другой точки О. Мы видели (п. 10), что для проекций момента OG вектора относительно точки О можно написать: L; = Lft (yZfc -

n[n[-{zx-xZt, (o;)

N = N - {xY-yX.

Следовательно, обозначая через X, У, Z и L, М, N проекции векторов OR и OG, получим:

X = Xk = X, Y=:Y. Z = Z, (/?

L = L = L - {yZ-zY).

M = M - (zX-xZ), \ (G)

N =n - {xY-yX).

При помощи этих формул можно вычислить векторы R и G для любой точки О пространства, если они известны для одной

точки О. Эти формулы показывают, что главный момент OG относительно точки О равен геометрической сумме главного момента относительно точки О и момента относительно

точки О главного вектора OR в точке О.

15. Изменение главного вектора и главного момента; инварианты; центральная ось. Допустим сначала, что главный вектор отличен от нуля. Тогда главный момент G будет отличен от G, если только точка О не находится на линии OR. Но проекция главного момента на направление главного вектора есть величина постоянная. В самом деле, имеем

RG cos ifo = LX + MFH- NZ,

a левая часть этого равенства на основании значений X, Y, Z, U, M.N равна LXMYNZ, т. е. величине постоянной. Так как величина R также постоянна, то

G cos ifo = const = О cos RG,

что и доказывает теорему.

Вследствие этой теоремы, каковы бы ни были начало и направления прямоугольных осей координат, величины

X~{-Y-~{-Z LX+MY + NZ

сохраняют постоянные значения. Эти величины называются инвариантами системы векторов.

Согласно определению скалярного произведения двух векторов (п. 3), можно сказать, что инвариант LX-\-MY NZ есть скалярное произведение главного вектора и главного момента относительно



произвольной точки пространства. Ниже (п. 21) будет дано другое замечательное геометрическое истолкование этого инварианта.

Так как главный вектор, по предположению, везде отличен от нуля, то можно найти такую точку 0{х, у, г), что главный момент ОО будет направлен по той же прямой, что и главный вектор OR. Для этого необходимо и достаточно, чтобы L, М, N были пропорциональны X, Y, Z:

L - (yZ- zY) М-(zX-xZ) N - (xY-yX)

X "~ Y ~~ Z

Эти линейные относительно х, у, г уравнения указывают, что геометрическое место точек О есть пряц}ая DD, параллельная направлению главного вектора. Эта прямая называется центральной осью (рис. 13). Для какой-нибудь точки О этой оси 1* главный вектор и главный момент будут лежать на этой 1 оси и будут иметь одинаковые или противоположные

» направления в зависимости от того, будет ли величина * LX-{-MY -\-NZ положительной или отрицательной. При этом главный момент g будет минимальным, так как он совпадает со своей проекцией на главный вектор. В частности, если R отлично от нуля, а инвариант

LX~MY~NZ

равен нулю, то проекция главного момента относительно 1 произвольной точки на главный вектор равна нулю. Этот Рис. 13. момент будет перпендикулярен главному вектору, а минимальный момент Og будет равен нулю. Примечание. Умножая члены отношений (1) соответственно на X, Y, Z и складывая, получим для общего значения этих отношений величину

LX+MY+NZ а cos RG X+Y + Z- ~~ R

которая обращается в нуль, если минимальный момент равен нулю.

Случай, когда главный вектор равен нулю. В случае, когда главный вектор равен нулю, из предыдущих формул вытекает, что L, М, N будут равны L, М, N. В этом случае главный момент будет одинаковым во всех точках пространства.

Рассуждения, которые привели к понятию, центральной qcw, в рассматриваемом случае теряют смысл. Можно условно принять в этом случае в качестве центральной оси любую прямую, параллельную главному моменту.

16. Сумма моментов относительно произвольной оси. Прямые нулевого момента. Рассмотрим ось Д, соединяющую две точки О (х, у , z) и О" (х", у", г"). Момент Ши вектора относительно этой оси определяется одной из формул, установленных выше (п. 12).





0 1 2 3 4 [5] 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037