Главная Промышленная автоматика.

прямая пересечет первую L,,Mi в точке М, через которую проходит равнодействующая. В самом деле, если мы заменим прямые LsMt, ММо, ... MiM нитями или жесткими стержнями, перенесем силы Fj, F2, F3, F4

в точки Ml, М2.....JVI4 на их

линиях действие и приложим к крайним нитям LMi, MN- натяжения, равные диагоналям (Л 5) и (4, S) многоугольника Вариньона, то получим веревочный мно- гоугольниму находящийся в рав-

U>f v /15 новесии. Согласно принципу за-

/ух . \г / твердевания (п. 120) существует

равновесие между крайними натяжениями, направленными по сторонам М1Ц, MN, и силами Fi, Fo,, F3, Fi, приложенными в вер-шинах. Равнодействующая этих последних сил будет, следовательно, равна и прямо противоположна равнодействующей двух крайних натяжений и будет проходить через точку М пересечения сторон L:,Mi и MiN. Таким образом, равнодействующая будет найдена, так как она по величине и направлению определяется Рис 84 вектором

Если изменять положение первой стороны L,Mi, перемещая ее параллельно самой себе, то веревочный многоугольник будет менять свою форму, а точка М будет перемещаться по линии действия равнодействующей сил Fi, Fi, F3, F.

Сумма моментов сил относительно произвольной точки О плоскости. Сумма моментов сил относительно точки О равна моменту равнодействующей R, т. е. равна Rb, где 5 - расстояние от точки О до силы R. Проведем через точку О (рис. 85) линию PQ, параллельную линии действия равнодействующей, и пусть Р а Q - точки пересечения этой прямой с крайними звеньями МуМг, и ММ. Треугольники PQM и AiAA, имея параллельные стороны, подобны. Построим высоты МН - 8 и АК этих треугольников. Так как Л4Л5 = R, то получим

1

f 1 / ;

/ / 1 1 1

R

PQ R

Л5 = PQ • АК


Рис. 85.

Точка А выбрана произвольно и поэтому можно принять Л/С=1. Тогда момент Rb будет измеряться отрезком PQ.

Теорема. Точка А выбрана произвольно. Выбирая для этой точки другое положение А, мы придем при помош,и указанных выше построений к другому веревочному многоугольнику l-, М[, М, М, М[, N, крайние



Звенья которого также пересекаются на линии, действия равнодействующей {шс. 84).

Более того, справедлива следующая теорема:

Точки пересеченая соответствующих сторон AfAfj+i и ММ/.

первого и второго веревочных многоугольников лежат на прямой Д, параллельной АА (рис. 84)..

В самом деле, допустим, что первый веревочный многоугольник разрезан в точке В какой-нибудь стороны, например, стороны МзМ,. Часть MyMiMB этого многоугольника находится в равновесии под действием сил Fy, Fo, F, и натяжений 7"i5, 7"„ крайних сторон МхЦ и Мф. Следовательно, натяжения Т-ъ и Т имеют равнодействующую, равную и противоположную равнодействующей сил Fy, F, F. Применяя те же рассуждения к части LMMM-fi второго многоугольника, который мы предполагаем разрезанным в точке В стороны Мм, мы найдем, что натяжения крайних сторон которые мы обозначим через 7"j5 и Гд, имеют равнодействующую, равную и противоположную равнодействующей сил Fy, Fo, F. Таким образом, натяжения 7"i5 и Tg имеют равнодействующую, равную равнодействующей натяжений Tjj и Т Мож«10 также сказать, меняя направления двух последних натяжений, что совокупность четырех векторов Т, Гд, Т, т эквивалентна нулю. Равнодействующая двух натяжений Гд и Гд, проходящая через точку пересечения сторон jVfgAf и MgM, равна и прямо противоположна равнодействующей Д двух натяжений Т и Ti, проходящей через точку пересечения сторон Lr,My и Z-jAfj. Следовательно, точка пересечения сторон М-М и MM находится на фиксированной прямой Д. То же самое будет справедливо для точки пересечения двух любых соответствующих сторон обоих многоугольников. Эта фиксированная прямая Д параллельна АА, так как натяжение Ту равно и параллельно ЛД, и направлено в сторону АА, а натяжение 7" равно и параллельно Л-,Л и направлено в сторону Л,А; следовательно, равнодействующая Д этих двух натяжений равна и параллельна равнодействующей сил АА., и Л-Л, т. е. силе АА.

2°. Построение замкнутого веревочного многоугольника, соответствующего системе лежащих в плоскости уравновешивающихся сил. В плоскости дана система сил Fy, Fy, Fc, (рис. 84), находящихся в равновесии, т. е. таких, главный вектор и главный момент которых равны нулю. Построим многоугольник сил Ау Ач... Аг,. Это будет замкнутый многоугольник со сторонами /, 2, 3, 4, 5. соответственно параллельными

силам Fy, Fo,.....Fr . Возьмем далее в плоскости произвольную точку А.

Этой точке можно поставить в соответствие замкнутый веревочный многоугольник следующим образом.

Соединим эту точку с различными вершинами многоугольника сил и пусть (г, S) - прямая, соединяющая точку А с точкой пересечения сторон г и S. Таким путем получится шесть прямых (/, 2), (2, 3) (5, 1). Построим затем замкнутый многоугольник МуМ-МММ-, вершины которого лежат, соответственно на осях векторов Fy, Fo.....F5, а стороны ММх, МхМ% ...

ММг, параллельны сторонам (5,1), (/, 2), ..., (4, 5). На основании случая, рассмотренного раньше, можно произвольно выбрать положение стороны Мг,Мх или LMxi последующие стороны MxAh, AfgAlg, МЛд будут тогда определенными и точка М:, пересечения сторон LMx и M.N будет находиться на линии равнодействующей сил Fi, F-i, Fi, т. е. на



линии силы Ft,, которая равна и прямо противоположна этой равнодействующей. Построенный многоугольник будет, следовательно, замкнутым.

Построенный таким образом многоугольник Му ... называется веревочным многоугольником, соответствующим точке А. Если предположить, что точки Ml, М2.....iVlj заменены материальными точками, а стороны MiMi, MMg, ..., MMi - нерастяжимыми нитями, и перенести все силы в точки Ml, Mi,..., Afj, то получится находящийся в равновесии замкнутый веревочный многоугольник, в котором натяжение стороны ММ равно и параллельно отрезку (г, s). Может случиться, что некоторые из сторон подвержены сжатию; тогда необходимо заменить их твердыми стержнями. Это имеет место на рис. 84 для сторон МуМг, и Mr,Mjy.

Если взять другую точку А, то ей будет соответствовать другой веревочный многоугольник МуММ ... Соответствующие стороны этих многоугольников, как было показано, пересекаются на прямой Д, параллельной АА.

Если бы силы Fi.....Р5 вместо того, чтобы находиться в равновесии,

приводились к паре, то это обнаружилось бы при построении, так как LrMi и MN не пересекались бы на линии силы F и равнодействующая R сил Fi, F, F, F лежала бы на прямой, параллельной силе Fc„ но не совпадающей с ней.

3°. Частный случай. Пример взаимных фигур. Допустим, что силы Р5, находящиеся в равновесии, пересекаются в одной точке О (рис. 86). Веревочный многоугольник (О) Ml Mi ... Л5, построенный указанными выше приемами, и многоугольник Вариньона (А)Ai Ai... Ai будут тогда взаимными. Под этим надо понимать следующее. В веревочном многоугольнике MMi-.. М натяжения Тц, Г,,,, сторон MoMi, М:,Мо,..., МуМг, соответственно равны и параллельны диагоналям AAi, ААо, ..., AAf, многоугольника Вариньона. Приложим в вершинах Ai, Ао..... Аг, многоугольника Вариньона вдоль каждой из этих диагоналей силы Ру, Pi,..., Р, равные и параллельные соответствующим сторонам MiMi, ММ,. , МуМ веревочного многоугольника, и заменим стороны AiAi, AiAs,..., AAi нитями. Построенный таким образом новый веревочный многоугольник AiAi ... 5 будет в равновесии, и натяжения сторон 1,2,3,... будут равны и параллельны диагоналям ОМу, ОМо, ... первоначального веревочного многоугольника, который, таким образом, является многоугольником Вариньона для нового серевочного многоугольника. Короче говоря, каждый из двух веревочных многоугольников (А) и (О) является многоугольником Вариньона для другого.

128. Кольца, скользящие на нити. Допустим, что гибкая не растяжимая нить закреплена своими концами в двух неподвижных точках А я В » что по ней могут скользить без трения бесконечно малые кольца. К этим кольцам приложены известные силы. Нужно найти положение равновесия системы.

Если имеется только одно кольцо С (рис. 87), то сила F должна быть Сассектрисой угла АСВ. Это вытекает из того, что кольцо С может рассматриваться как точка, скользящая без трепня по эллипсу с фокусами






0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 [49] 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0053