Главная Промышленная автоматика.

фигура равновесия является плоской, и ее плоскость проходит через точку О.

Так как точка Мо, находится в равновесии под действием сил F,, Тц, Тчз, то алгебраическая сумма моментов этих сил относительно точки О равна нулю. Но так как момент силы F равен нулю, то сумма моментов

момент силы 712 равен

сил Т21 и У 23 равна нулю, откуда вытекает, что моменту силы Тз- Продолжая таким же образом дальше, убеждаемся, что все натяжения Т, r+i имеют одинаковые моменты относительно точки О (рис. 82).

126. Параллельные силы. Фигура равновесия будет также плоской, когда все силы, кроме двух крайних, параллельны. В этом случае проекции натяжений на перпендикуляр к обш,ему направлению сил равны.

Первая часть этого предположения докажется так же, как и для сходящихся сил. Для доказательства второй части-замечаем, что так как силы Fo,, 7"а, 723 находятся в равновесии, то сумма

их проекций на направление хх, перпендикулярное силам, равна нулю. Но так как проекция силы F2, равна нулю, то отсюда следует, что проекция 7"i2 равна проекции Г23 и точно так же равна проекции Тз и т. д.

Допустим, например, что оба конца многоугольника подвешены к двум неподвижным точкам и что силами, действующими на промежуточные

вершины, являются веса. Тогда многоугольник будет находиться в вертикальной плоскости, проходящей через две неподвижные точки. Допустим, кроме того, что имеется горизонтальное звено MqMx, натяжение которого мы обозначим через Т. Натяжения следующих звеньев МуМо,



МоМз

будут 7i2, 7.

23. - - ,

углы наклона к горизонту обозначим через ау, ао, ... На точки Му, Мч, ... действуют веса ру, ро, ... Для построения в рассматриваемом случае многоугольника сил для части Mq, Ml, М2, . веревочного многоугольника (рис. 83) необходимо провести через некоторую точку А р„£. 83 в направлении M-Mq вектор АВ,

равный и параллельный натяжению 7"о, далее - векторы ВВу, ВуВо, равные и параллельные силам р, ро, ... Точки В, By, Во, ... находятся на одной вертикали, а диагонали АВу, АВо, ... параллельны сторонам МуМо, М2М3, ... и равны натяжениям То, Т30. Имеем, следовательно:

tgai =

tga2 =

Pl-P2Л- ••• -Ри

Т " » &*2----Т i "-К - 7. »

й О ч

Тй = T21 COS (Xj = 7"33 cos а, = ... = T]i+i, ji COS aj.

Если предположить, что число вершин MyMi ... неограниченно возрастает, причем каждая сторона стремится к нулю, то многоугольник



= g 1 Pds, tg а = i У р ds.

где а, как и раньше, - постоянная.

Висячие мосты. Будем предполагать, что подвесные стержни вертикальны, находятся на одинаковых расстояниях друг от друга и одинаково нагружены. Мы будем пренебрегать весом этих стержней и каната. Будем, наконец, предполагать, что канат симметричен относительно вертикальной плоскости, перпендикулярной к его собственной плоскости, и что он абсолютно гибок и нерастяжим. Примем вертикальную плоскость, содержащую канат, за плоскость чертежа, прямую ее пересечения с плоскостью симметрии за ось у и прямую хх ее пересечения с плоскостью моста, которая предполагается горизонтальной, за ось х. Будем предполагать число стержней четным, т. е. что в середине многоугольника имеется горизонтальное звено MqMi (рис. 83). Обозначим через а расстояние между стержнями и через jfft, у координаты вершины Mjc- Координаты вершины Mi будут я/2, Ь. Координаты остальных вершин могут быть подсчитаны последовательно по формулам

(k - l)p

в которых tga j равен -у. , так как веса pi, р, ... равны вдному

и тому же весу р. Таким путем найдем:

*fe = + (-l)-y, = 6-f [1-f 2-f ... +(fe l)]=*--l<..

Это последнее уравнение может быть непосредственно получено, если заметить, что внешние силы, приложенные к части MiM ... Mjc, образуют систему векторов, эквивалентных нулю, вследствие чего сумма их моментов относительно точки .Мк равна нулю.

превратится в такую кривую, что, обозначая через а угол наклона касательной в точке М к горизонту, через Т-натяжение в этой точке, через Р - вес дуги MqM, отсчитываемой от наинизшей точки Mq, где натяжение равно Tq, мы сможем написать

tg« = -. 7o=7cos<x.

Например, если вообразить однородную тяжелую нить, находящуюся в равновесии, то вес нити от наинизшей точки Mq до точки М пропорционален дуге MqM, длину которой обозначим через s. Следовательно, для кривой равновесия (цепной линии)

tga =

(а - постоянная). Ниже мы дадим уравнение этой кривой в конечной форме (п. 139).

Если тяжелая нить не однородна, но ее линейная плотность р (как она определена в п. 114) есть известная функция дуги s, отсчитываемой от Mq, то



2 -"- 2 Го

изменять k непрерывным образом, то точка х, у опишет параболу с вертикальной осью и вершины многоугольника будут точка.чи этой параболы, соответствующими целым, значениям k. Легко, кроме того, показать, что звенья многоугольника касаются в своих серединах другой параболы с вертикальной осью.

Если число стержней будет очень большим, а звенья очень малыми, то многоугольник можно будет отождествить с кривой, которая, согласно вышеизложенному, будет обязательно параболой. В этом можно также убедиться, если заметить, что тангенс угла наклона звена MjiMk+i пропорционален абсциссе его середины. Если многоугольник отождествляется с кривой, то угловой коэффициент касательной в какой-нибудь точке этой кривой пропорционален абсциссе этой точки, что является характерным свойством параболы с вертикальной осью.

127. Графические приложения теории веревочных многоугольников. Геометрические и механические свойства веревочных многоугольников послужили поводом к возникновению новых теорий, начало которым было положено в заметке Понселе и которые были впоследствии подробно разработаны в руководствах графической статики Кульмана, Кремоны, Мориса Леви, Руше. Можно указать также на элементарную книгу Зейрига в серии- Aide-Memoire Леоте и на книгу П. Монтеля «Статика и сопротивление материалов» (Gauthler-Vlllars, 125). Мы ограничимся здесь рассмотрением некоторых примеров.

Г. Графическое определение равнодействуюией нескольких сил, лежаш,их в одной плоскости. Пусть в плоскости задано произвольное число сил, например, заданы четыре силы Fy, Го, Fg, Г, имеющие равнодействующую, не равную нулю. Построим многоугольник этих сил, проведя через некоторую точку Af, вектор Ar,Ai, равный и параллельный силе Fy, через точку Ау - вектор AiAo, равный и параллельный силе F2.....наконец, через точку А-вектор АА, равный и параллельный силе Г, и перенумеруем стороны этого многоугольника, обозначая буквой г сторону, равную и параллельную силе Гг. Равнодействующая сил Гу, Го,,..., F равна и параллельна стороне имеющей номер 5. Возьмем в плоскости точку А и соединим ее с вершинами А, Ai, А, А, Ai многоугольника сил. Обозначим через (г, s) диагональ, соединяющую точку А с точкой пересечения сторон г и s. Мы получим таким образом многоугольник Вариньона. Построим соответствующий веревочный многоугольник. Для этого проведем произвольную прямую LfJAy, параллельную диагонали (5, /), и обозначим через THj точку, в которой она пересекает направление силы Fy. Через М- проведем прямую ММо. (рис. 84), параллельную диагонали (/, 2), и обозначим через Мо точку ее пересечения с направлением силы Г ИТ. д. ... , через точку М проведем MN параллельно {4, 5). Эта последняя

В этих выражениях имеется еще неизвестное натяжение Tq. Оно может быть определено, если известна точка подвеса последней вершины Мп- Пусть h - высота этой точки; тогда

h А I п(п- 1) ар

что и определяет Т. Вершины многоугольника находятся на параболе с вертикальной осью. В самом деле, если в равенствах





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 [48] 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037