Главная Промышленная автоматика.

которое она испытывает в направлении MMj+i, а через Ti.i то же самое натяжение, но в противоположном направлении, так что Т, и r+i, j являются равными и прямо противоположными силами.

Допустим, что рассекаются стороны ММ и МЖ, в точках Р и Q и рассматривается часть PMMMMQ веревочного многоугольника. Эта часть находится в равновесии под действием натяжений 7-2 и Tjj, приложенных в точках Р и Q, и заданных сил Fg, Р4, F5, Pg, приложенных к промежуточным вершинам. Точка М, рассматриваемая как свободная, находится под действием силы Р3 и двух натяжений и Г34, примыкающих к этой точке нитей; эти три силы находятся, следовательно, в равновесии. Точно так же точка находится в равновесии под действием непосредственно приложенной силы и двух натяжений и Tg, примыкающих к этой точке нитей, и т. д. Выражая таким же образом, что каждая вершина находится в равновесии под действием приложенной к ней силы и двух натяжений примыкающих к ней нитей, мы и получим условия равновесия.

Эти условия очень просто выражаются при помощи следующего построения, приводящего к многоугольнику Вариньона. Через произвольную точку А (рис. 79) проведем вектор АА2, равный н параллельный натяжению 72 первой рассматриваемой стороны и через точку А2 вектор АА, равный pg. Так как три силы Р32, Р3, Г34 находятся в равновесии, то вектор АА, замыкающий треугольник ЛЛ2Л3, равен и параллелен силе Р34, и поэтому вектор АА равен силе Р43. Теперь, так как силы Р43, Р4 и Р45 находятся в равновесии, то, проведя через конец А вектора АА, равного и параллельного силе Г43, вектор Л3Л4, равный силе Р4, получим вектор АА, равный силе Р45, а противоположно направленный вектор АА равен силе Рб4- Продолжая так шаг за шагом, придем в конце концов к вектору АА, равному и параллельному силе Р, и к вектору -4.4., равному натяжению Р. Полученный таким образом многоугольник ЛЛ2Л3 ... называется многоугольником Вариньона.

Резюмируя сказанное, мы видим, что для того, чтобы рассматриваемая часть PMMMMQ (рис. 79) веревочного многоугольника была в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы после построения векторов Л2Л3, АА, Л4Л5, АА, равных и параллельных силам Рз, Р4, pg, pj, приложенным в вершинах, можно было найти такую точку А, чтобы векторы АА2, АА, АА, АА, АА были параллельны векторам PMj, Ж3Л14, ММ,, MMg, MQ и направлены в стороны, им противоположные. Это последнее условие вытекает из того, что такой вектор, как АА, должен быть равен натяжению Р43, которое направлено в сторону Л44Л13.

Эти условия также и достаточны. Если они выполняются, то каждая вершина Mi будет находиться в равновесии под действием силы Fi и двух натяжений Р,, »-i и Р, равных соответственно векторам Л,4 1 и AiA.



Главный момент крайних натяжений Гдз, Tg, и сил F, F, F, F будет равен нулю, так же как и главный момент каждой из сил Fi а двух натяжений Т х, 7j j+i, приложенных в точке М. Следовательно, рассматривая моменты сил и натяжений относительно одной и той же "точки, мы получим векторы, для которых можно построить многоугольник, аналогичный многоугольнику Вариньона.

Может случиться, что будут выполнены все условия равновесия, кроме тех, которые касаются направления натяжений сторон. Тогда некоторые из сторон будут сжиматься вместо того, чтобы быть растянутыми, и равновесия не будет. Для того чтобы оно было, надо заменить эти стороны твердыми стержнями, которые способны сопротивляться сжатию.

124. Условия на концах. Указанные нами условия равновесия должны выполняться для любой части многоугольника. Крайние вершины веревочного многоугольника могут быть подчинены разного вида условиям, которые называются условиями на концах.

1°. Свободные концы. Может случиться, что веревочный многоугольник AljAIg ... М„ является свободным в пространстве и его концы Му и Л1„ свободны и находятся под действием заданных сил F и F„. Допустим, для упрощения, что я = 5 и, следовательно, рассматривается многоугольник МуМчМзММ. Тогда натяжения крайних звеньев МуМ и ММг, известны. В самом деле, так как My находится в равновесии под действием Fy и натяжения Tjg, то это натяжение равно и противоположно Fy. Точно так же Г равно и

противоположно Ff,. Если построить многоугольник Вариньона, соответствующий полному веревочному м ногоугольнику, то первое звено ААу будет равно и параллельно Fy, второе АуА равно и параллельно F2, и т. д., последнее равно и параллельно F (рис. 80). Построенный таким образом многоугольник является многоугольником сил Fy, F2, Fg, F, Fr,. Этот многоугольник должен быть замкнутым, т. е. точка Л5 должна совпадать с точкой А, так как силы должны удовлетворять условиям равновесия сил, приложенных к твердому телу, и их главный вектор должен равняться нулю. Натяжения "k+hk равны и параллельны диагонали АА, многоугольника Вариньона.

2°. Концы Mi и М„ закреплены в неподвижных точках. Необходимо тогда принять в качестве вспомогательных неизвестных


Рис. 80.



силы Fi и F„, представляющие действия неподвижных точек на концы Му и M„ или, что то же. натяжения " n-i, п-

3°. Веревочный многоугольник замкнут. Многоугольник замкнут, когда последняя точка непосредственно связана с первой при помощи нити. В этом случае можно применить общие условия равновесия и построение Вариньона ко всему многоугольнику, разрезав мысленно нить ММ в двух точках Р и Q и приложив вдоль МуР натяжение Р и вдоль MQ натяжение Ру. Тогда надо

будет провести через точку А вектор AAq, равный и параллельный натяжению Pjs и далее векторы AAi, АуА.....равные и параллельные силам Pi, р2.....Рб (рис. 81).

Натяжения нитей будут равны и параллельны векторам АА, АА, .. . ..., ЛЛ5, причем натяжение Pj будет <Гм равно и параллельно вектору АА, натяжение Pai равно и параллельно вектору ААу ИТ. д, натяжение P+i, & - вектору и т. д. Последнее натяжение Pi5 будет равно и параллельно вектору АА; точки А и А совпадают, так как АА, также равно Pj.

Следовательно, для равновесия замкнутого веревочного многоугольника необходимо и достаточно: 1) чтобы многоугольник сил, непосредственно приложенных, был замкнут; 2) чтобы существовала такая точка А, для которой каждая из сторон ММх веревочного многоугольника была параллельна и противоположно направлена диагонали АА.

Примечание. Если число сторон веревочного многоугольника неограниченно возрастает, причем каждая из этих сторон стремится к нулю, то как этот многоугольник, так и многоугольник Вариньона обращаются в кривые. Этот предельный случай будет изучен в параграфе И.

В общем случае фигура равновесия будет пространственным многоугольником. Этот многоугольник будет плоским в случаях, когда силы р2. Рп-1 сходятся или параллельны.

125. Сходящиеся силы. Если все силы Р, кроме крайних Ру и Р„, пересекаются в одной точке, то независимо от того, будет ли многоугольник замкнутым или нет, его фигура равновесия будет плоской а моменты всех натяжений относительно точки пересечения сил будут равны.

Пусть О - точка пересечения сил. Как мы видели, можно считать, что материальная точка М2 находится в равновесии под действием силы Р2 и натяжений Т и 7"2з- Так как эти силы уравновешиваются, то они лежат в одной плоскости, и, следовательно, точки М, Мч., М, О находятся в одной и той же плоскости Р. Таким же путем убеждаемся, что точки М, Mg, М, О тоже лежат в одной плоскости, которая совпадает с Р, так как имеет с ней три общие тоЧ«й О, М, и так далее. Следовательно,


Рис. 81.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 [47] 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.004