Главная Промышленная автоматика.

лельно плоскости ху и имеет площадь, равную единице, и образующие которого параллельны оси Oz и равны по длине единице.

(Разбить тело на бесконечно тонкие слои плоскостями, параллельными плоскости ху.)

36. Из предыдущего упражнения следует, что если центры тяжести параллельных плоских сечений лежат в одной плоскости, то центр тяжести тела также лежит в этой плоскости. Если центры тяжести сечений расположены на прямой, то центр тяжести объема также лежит на этой прямой. Это последнее обстоятельство имеет место для части тела вращения, заключенной между двумя плоскостями, перпендикулярными оси, и для объема, ограниченного поверхностью второго порядка и двумя параллельными плоскостями.

37. Если Sg есть функция второй степени относительно z, то обозначая через Sq, Si, а площади обоих оснований и равноотстоящего от них сечения, а через h - высоту тела, получим

V/=-(So-f Si-f 4а).

Расстояния от центра тяжести объема до обоих оснований Sq и Sj относятся как St + 23 к So + 2а. Формулы эти применимы к усеченным пирамидам и конусам, а также к частям поверхностей второго порядка и линейчатых по-верхнестей, заключенных между двумя параллельными плоскостями.

38. Для тел, указанных в предыдущем упражнении, справедлива следующая теорема: центр тяжести тела совпадает с центром тяжести трех масс, помещенных в центрах тяжести обоих оснований и среднего сечения и равных соответственно площадям оснований и учетверенной площади среднего сечения. (Дарбу, Статья в «Механике Депейру, стр. 383-388.)

33. Криволинейные однородные поверхности. Пусть S - часть сферической поверхности радиуса /?, и - ее проекция на диаметральную плоскость и 5 - расстояние от ее центра тяжести до этой плоскости. Доказать формулу

Sb = Ra.

34. Однородные объемы. Если однородный объем имеет диаметральную плоскость, сопряженную некоторому направлению хорд, то центр тяжести лежит в этой плоскости. Например, тетраэдр (центр тяжести совпадает с центром тяжести четырех равных масс, помещенных в четырех вершинах), усеченный цилиндр (центр тяжести есть середина прямой, параллельной образующим и соединяющей центры удара обоих оснований относительно прямой их пересечения).

35. Даны три косоугольные оси Ох, Оу, Oz. Обозначим через Sg площадь сечения однородного тела плоскостью, параллельной плоскости хОу, а через т), z - координаты центра тяжести площади этого сечения, предполагаемой однородной. Доказать, что центр тяжести тела имеет координаты

z, zj г,

Vi = k J SS dz, Vri = k j Sn dz, = J Sz dz,

zo za 2„

где ZdViZi - координаты z плоскостей, ограничивающих тело, V- его объем V = k \ Szdz к k - объем параллелепипеда, основание которого парал-



ГЛАВА VII ИЗМЕНЯЕМЫЕ СИСТЕМЫ

120. Предварительное замечание. В главе V мы указали необходимые условия равновесия произвольной материальной системы в следующей форме.

Если произвольная система находится в равновесии, то приложенные к. ней внешние силы (от. е. все силы, отличные от взаимных реакций различных частей) образуют систему скользящих векторов, эквивалентную нулю, т. е. удовлетворяют условиям равновесия сил, приложенных к твердому телу.

То же условие должно выполняться для внещних сил, приложенных к любой части материальной системы, если рассматривать ее как отделенную от остальной части.

Об этом можно составить себе представление на основании следующих рассуждений, основанных на идее затвердевания: если система находится в равновесии, то последнее, очевидно, сохранится, если все точки станут неизменно связанными между собой, т. е. если система затвердеет. Внешние силы должны уравновешиваться для полученного таким образом твердого тела и, следовательно, они удовлетворяют общим условиям равновесия твердого тела. Эти необходимые условия не будут, вообще говоря, достаточными. Мы применим эти рассуждения к некоторым изменяемым системам.

I. Веревочный многоугольник

121. Определение. Так называют систему материальных точек My,

М2.....каждая из которых связана с последующей при помощи

гибкой нерастяжимой нити. К каждой из этих точек приложена соответственно одна из сил Fy, F.....F, под действием которых

фигура может иметь некоторое положение равновесия в виде плоского или пространственного многоугольника. Исследуем условия равновесия такого многоугольника.

Рассмотрим сначала случай, когда имеются только две точки My и и две силы Fy и F. Равновесие может иметь место лишь тогда, когда внешние силы Fy и Fg- действующие на точки My и М, равны и прямо противоположны. Это необходимое условие не будет достаточным. Кроме того, силы должны иметь такое направление.



Рис. 78.

при котором нить растягивается. Если силы будут направлены так, чтобы точки сближались, то равновесия не будет. Чтобы в этом случае оно все таки было, нужно заменить нить твердим стержнем (рис. 78).

122. Натяжение. Допуская, что равновесие имеет место, возьмем на нити МуМ (рис. 78) произвольную точку А и выделим часть МуА. Полученная нить МА раньше находилась в равновесии. На нее -»-1-1-1-\-

действовали только сила и часть ft М, Д В 2 нити АМ. Необходимо, следовательно, заменить это действие .силой, равной и противоположно направленной

силе Fy. Эта сила называется натяжением в точке А. Она равна по абсолютному значению силе Fy и одинакова во всех точках нити. Точно так же часть АМ находится в равновесии под действием силы и натяжения, приложенного в точке А в сторону АМу. Наконец, произвольная часть АВ нити находится в равновесии под действием натяжений, приложенных на обоих концах в направлениях АМу и ВМ.

Вообще, если рассматривается произвольная часть веревочного многоугольника, находящегося в равновесии, например часть PMiMMMQ, полученная рассечением нитей МзМз и MjMy в точках Р и Q, то можно считать, что она находится в равновесии под действием сил, непосредственно приложенных к его вершинам Mg, M, М, Mj (рис. 79) и под действием натяжений сторон РМд и MgQ, приложенных в точках Р и Q в направлениях MjP и MgQ. Эти силы и два натяжения удовлетворяют условиям равновесия сил, приложенных к твердому телу.

Например, если силы Fg, /4, F5, F имеют одну равнодействующую Р, то должно быть равновесие между натяжениями MgP и MQ крайних сторон и этой равнодействующей. Следовательно (п. 107), эти крайние стороны должны пересекаться в некоторой точке на линии действия равнодействующей Р.

123. Равновесие веревочного многоугольника. Многоугольник Вариньона. Рассмотрим веревочный многоугольник, находящийся в равновесии под действием сил, приложенных к его различным вершинам. Чтобы исключить всякие недоразумения с направлением натяжений, будем обозначать через T.j+j натяжение стороны ММ,






0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 [46] 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0039