Главная Промышленная автоматика.

15. Рассмотрим твердое тело, находящееся под действием сил, приложенных в фиксированных точках этого тела и постоянных по величине и направлению. Каковы необходимые и достаточные условия для того, чтобы можно было привести тело в состояние астатического равновесия присоединением только одной силы, приложенной в фиксированной точке Р и постоянной по величине и направлению?

Ответ:

Y.X Y - Z-

и две аналогичные пропорции, в которых х должен быть заменен через у или Z. Тогда точка Р существует и называется центром сил системы. В этом случае координаты точки ю, подлежащей определению в упражнении 9, не зависят от положения тела. Эта точка как раз и будет точкой Р.

16. Найти также условия, чтобы существовала центральная линия, т. е. чтобы точка « описывала прямую. В этом случае всегда можно присоединить к системе две силы, чтобы осуществить астатическое равновесие.

17. Если точка о> описывает плоскость (центральную плоскость), то можно соответствующим образом присоединить к системе три силы, чтобы осуществить астатическое равновесие.

18. Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки, находится под действием сил, приложенных в неизменно связанных с телом точках и постоянных по величине и направлению. Каким условиям должны удовлетворять эти силы, чтобы тело оставалось в равновесии во всех положениях, которые оно может принимать вокруг неподвижной точки (астатическое равновесие рычага)?

19. Тот же вопрос в предположении, что тело может вращаться вокруг оси.

2Э. Тот же вопрос в предположении, что тело может не только вращаться вокруг оси, но и скользить вдоль нее.

21. Твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной точки или оси, находится под действием сил, приложенных в неизменно связанных с телом точках и постоянных по величине и направлению. Найти положения равновесия тела. (См. упражнение 23; см. также My аньо, Lefons de Мёса-nique analytique dapres Cauchy, стр. 234.)

22. Дана система сил, приложенных к твердому телу, и произвольный триэдр ОР, 0Q, OS. Каждая из сил Fji разложена на три составляющие р Qj, Sj, параллельные ребрам триэдра. Обозначим через А центр параллельных сил р и через равнодействующую, а через В я q, С н s -то же для сил q и s. Показать, что произведение площади треугольника ABC на объем параллелепипеда, имеющего ребра р, q, s, постоянно, какова бы ни была ориентация триэдра OPQS (Миндинг).

23. Упражнения к теореме Миндинга. 1°. Взята произвольная прямая Д, опирающаяся на два фокальных конических сечения, найденных в упражнении 10. Показать, что существует положение тела (т. е. система значений девяти направляющих косинусов), при котором силы приводятся к одной равнодействующей, направленной по Д. (Нужно заметить, что так как подвижные оси могут совпадать с неподвижными, то определитель девяти косинусов равен + 1; целесообразно выразить косинусы через углы Эйлера.)

2°. Через произвольную точку Р тела можно провести четыре прямых, опирающихся на два фокальных конических сечения. Существуют, следовательно, четыре положения тела, для которых силы имеют равнодействующую, проходящую через точку тела.



dY дч di

которые выражают, что дискриминант формы 4" равен нулю.

25. Найти положения равновесия однородного тяжелого стержня АВ, один из концов которого прикреплен при помощи нерастяжимой и не имеющей массы нити АО к неподвижной точке О, а другой конец скользит без трения по горизонтальной плоскости.

26. Даны материальные точки с массами т-у, /Иг, .... /я»- Пусть М--сумма их масс, G - их центр тяжести и А - произвольная точка. Доказать два соотношения:

2 Шк тА = 2 +

jM 2 "ft "V = • + 2 "i\ где /KjOTfc обозначает расстояние между точками пц и /ид (Лагранж).

3°. Если силы, действующие на тело, остаются постоянными по величине и направлению и приложены в фиксированных точках тела и если, кроме того, эти силы приводятся к паре, то существует четыре положения равновесия тела.

(В самом деле, пусть Fj, F, Fn - силы и Ay, Ao,, .... Л» -точки их приложения. Главный вектор R сил F2, F, F„ равен и противоположно направлен силе Fj. Согласно предыдущему существует четыре положения тела, при которых силы F2, F, Fn имеют одну равнодействующую R, проходящую через точку Ау тела. Эти четыре положения будут, очевидно, положениями равновесия, поскольку для них R а F равны и прямо противоположны.)

Предыдущие теоремы имеют место в наиболее общих случаях. Для частных положений сил число 4 может быть увеличено и стать даже бесконечным.

24. Твердое тело находится в рассматриваемом положении в равновесии. Спращивается, будет ли при предположениях упражнения И существовать для него ось равновесия.

Решение. Достаточно исследовать, существует ли ось равновесия Oz. проходящая через О. Для этого отнесем систему к новым осям Ох, Оу, Oz, образующим со старыми углы, косинусы которых равны я, а, а", р. р, р". Т. Т. f". и на1дем соответствующие этим новым осям величины F, G, Н, I, т, п. Если для сокращения положить

m-\-n = f, п + 1 = g, l-\-m = h

и обозначить через /, g, h аналогичные величины относительно новых осей, то придем к следующему результату. Рассматривая квадратичную форму

ф (и, и, и") = /и5 + gu + hu" - 2Fuu" - 2Gu"u - IHuu, можно написать:

/ = ф (а, а, а"), g (р, р, р"). Л = ф (Т, Г, f").

Для того чтобы ось Oz, направление которой определяется косинусами у, y, y", была осью равновесия, необходимо и достаточно, чтобы y, y. f" УДО влетворяли уравнениям



28. Дуга цепной линии у = уе" -\- е j Доказать, что центр тяжести дуги цепной линии имеет ту же абсциссу, что и точка пересечения касательных к ней в концах А к В. Если точка А есть вершина кривой, то ордината центра тяжести равна половине ординаты точки пересечения нормали, проведенной в точке В, с осью Оу.

29. Однородные плоские фигуры. Доказать, что если однородная плоская фигура имеет прямолинейный диаметр, сопряженный с некоторым, направлением хорд, то центр тяжести лежит на этом диаметре..

30. Центр тяжести площади треугольника совпадает с центром тяжести трех равных масс, помещенных в трех вершинах; центр тяжести площади трапеции лежит на прямой, соединяющей середины оснований b и В и делит эту прямую в отношении 2В -f 6 к 26 + В.

31. Центр тяжести части плоскости, ограниченной дугой цепной линии АВ, осью X {основанием цепной линии) и двумя ординатами точек А и В. (Абсцисса центра тяжести равна абсциссе центра тяжести дуги АВ; его ордината равна половине ординаты центра тяжести дуги АВ.)

32. Неоднородные фигуры. Центр удара. Дана плоская фигура S. Рассмотрим прямую АА в ее плоскости и допустим, что плотность р в какой-нибудь точке пропорциональна расстоянию 8 от этой точки до прямой АА. Центр тяжести G полученной таким образом материальной поверхности называется центром удара относительно оси АА фигуры S, если считать ее однородной. Эта точка встречается в теории удара, а также в гидростатике. Доказать, что центр удара G и ось АА образуют систему полюсов и поляр относительно неподвижного мнимого конического сечения, центр которого совпадает с центром тяжести площади S, если считать ее однородной.

Ответ. Примем за начало центр тяжести площади S, предполагаемой

однородной, и обозначим через da элемент этой площади. Интегралы f da и J J у da, распространенные на площадь, равны нулю. Можно выбрать такое направление прямоугольных осей х Оу, чтобы J j ху da также равнялся нулю. Тогда j j da = S. Положим, кроме того, что

J J л:2 аа = a-S, j* J уза = bS.

Пусть ихvy-{-1 - о - уравнение прямой АА. Предполагаемая плотность площади S в точке {х, у) будет

р= {их-\-уу-\-1) (fe - постоянная).

у „2 2

Координаты точки G будут тогда £ == аи, -ц = bv, и эта точка является

Д.2 у2

полюсом прямой А А относительно мнимого конического сечения "ь "ь

+ 1=0. Можно также сказать, что точка G симметрична с точкой О относительно полюса прямой АА для вещественного конического сечения

Х" V2

5 + f-l=0-

27, Центры тяжести однородных линий. Дуга круга. Доказать, что расстояние от центра круга до центра тяжести дуги круга есть четвертая пропорциональная между дугой, радиусом и хордой.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 [45] 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037