Главная Промышленная автоматика.


Обозначая объем через V, получим

V2k j j ydxdy = 2KriS,

что и доказывает теорему.

Заметим, что если ось пересекает фигуру, то полученная формула будет представлять разность объемов, описанных частями фигуры, расположенными по одну и по другую сторону оси.

Как на обобщение этой теоремы, укажем на исследования Кёнигса об объемах, описываемых кривыми (Journal de Jordan, t. V, 1889). См. также заметку Адамара в Bulletin de la Societe mathematique de France, seance du 7 dec. 1898.

119. Объемы. Возьмем в твердом теле объем V, заключающий массу т. Отнощение m/v называется средней плотностью выделенной части тела. Когда объем v стремится к нулю, стягиваясь в точку Р, то отнощение mjv стремится к пределу р, который называется плотностью в точке Р. Эта величина р является функцией координат точки Р, и, когда она постоянна, тело называется однородным.

Масса dm элемента объема dv, окружающего точку Р с координатами X, у, 2, равна р dv. Следовательно, обозначая через М всю массу, получим формулы

Л1 = J J J р dv.

5 = ffjxp dv, -n = jjf yp dv, ЛИ: = jjj dv. Если тело однородно и имеет объем V, то jM = pV и

Vi = fffxdv, V.fffydv, V, = fffzdv.

Выражение dv зависит от избранной системы координат. В косоугольной декартфвой системе необходимо принять dv равным k dx dy dz, где через k обозначен объем параллелепипеда с ребрами, равными единице и параллельными осям координат. В сферических координатах г, 6, <р для dv получается выражение г- sin в dr db df и т. д.

В случае однородного тела можно всегда начинать с выполнения одного интегрирования и привести тройные интегралы к двойным.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Система сил, приложенных к твердому телу, отнесена к косоугольным осям. Показать, что уравнения равновесия имеют тот же вид, что и в прямоугольных осях:

2fe = 0, Yu = Q, ZkQ, 2(Уй2д-гл) = 0, ...

2. Рассматривается плоский замкнутый многоугольник; ко всем его сторонам, кроме Одной, прилагаются силы, пропорциональные этим сторонам, им перпендикулярные, лежащие в плоскости этого многоугольника и направленные по отнощению к нему наружу. Показать, что эти силы имеют равнодействующую, перпендикулярную к последней стороне и пропорциональную ей.



3. Доказать, что если несколько сил, приложенных к твердому телу, находятся в равновесии или приводятся к паре, то центр тяжести равных масс, помещенных в концах этих сил, совпадает с центром тяжести равных масс, помещенных в точках их приложения (Крофтон).

4. Вдоль сторон замкнутого пространственного многоугольника Р направляют в одну и ту же сторону обхода силы, равные сторонам. Показать: 1) что эти силы приводятся к паре; 2) что если построить в плоскости этой пары многоугольник П с площадью, равной половине момента пары, то проекция многоугольника Р на произвольную плоскость имеет такую же площадь, как и проекция многоугольника П на ту же плоскость (Гишар).

5. Дан выпуклый плоский четырехугольник ABCD. Направить по сторонам этого четырехугольника четыре силы, находящиеся в ра.вновесии. (См. Мёбиус, Статика, § 29.)

6. Центр системы сил, лежаш,их в плоскости и имеющих равнодействующую. Дана плоская фигура АА... An неизменяемой формы, к различным точкам которой приложены силы Fx, F.....Fn, расположенные в плоскости фигуры и имеющие равнодействующую R. Будем перемещать фигуру в ее плоскости, предполагая, что силы F, F.....Fn

остаются приложенными в тех же точках Ai, .....An движущейся

фигуры и сохраняют неизменными свои величины и направления. Тогда равнодействующая R будет также сохранять неизменными свою величину и направление и будет проходить через некоторую точку С, неизменно связанную с движущейся фигурой и называемую по Мёбиусу центром сил Fx, Fi, Fn-

7. Случай пары. Главные направления. Допустим теперь, что силы Fx, Fi, Fn образуют пару. Тогда перемещая фигуру в своей плоскости и сохраняя постоянными величины и направления сил, можно всегда привести фигуру в положение равновесия.

Существуют два взаимно перпендикулярных направления ОР и 0Q, неизменно связанных с движущейся фигурой и обладающих следующим свойством: когда фигура приведена в то ее положение, где имеет место равновесие, и каждая из сил Fjc разложена на две составляющие и Qk, параллельные соответственно ОР и 0Q, то каждая из систем параллельных сил Pji и Q]i находится в равновесии. Эти направления называются главными (Мёбиус).

8. На дощечке укреплены две магнитные стрелки, линии полюсов которых имеют длину а к b к пересекаются под прямым углом в своих серединах. Дощечка плавает в неподвижной жидкости. Найти: 1) положение равновесия; 2) главные направления (упр. 7). Известно, что действие Земли на правильно намагниченную стрелку, т. е. такую, которая имеет только два полюса и только одно нейтральное направление, приводится к паре, силы которой постоянны по величине и направлению и приложены в полюсах. Обозначим в рассматриваемой задаче через Р общее значение горизонтальных проекций сил пары, действующих на стрелку а, а через Q ту же величину для стрелки Силы Р и Q направлены по магнитному меридиану места.

9. Центральная плоскость в твердом теле, находящемся rtod действием сил, главный вектор которых не равен нулю. Пусть на твердое тело действуют силы, главный вектор которых не равен нулю. Допустим, что когда тело перемещается, каждая из сил сохраняет постоянными свою величину и направление и остается приложенной в одной и той же точке тела. Это, например, имеет место для тяжелого тела, образованного соединением нескольких намагниченных тел. В этом случае действие Земли на каждый магнит создает пару, силы которой постоянны по величине и направлению и приложены в полюсах магнита, а полный вес системы также является силой, постоянной по величине и направлению, приложенной в определенной точке тела. Эта система сил имеет главный вектор, равный весу.



Очевидно, что поступательное перемещение тела ничего не изменяет в его состоянии и поэтому достаточно исследовать эффект вращений.

Рассмотрим прямую Ор и разложим каждую силу на составляющую Pj, параллельную Ор, и на силу, к ней перпендикулярную. Если произвольным образом менять направление Ор, то геометрическое место центров « параллельных сил pj будет, в общем случае, плоскостью, называемой, .по Мёбиусу, центральной плоскостью. Она не меняет свое положение в теле, какова бы ни была его ориентация. В некоторых частных случаях геометрическое место может быть прямой линией (центральная линия), а также и точкой (центр сил).

10. Теорема Миндинга. Будем перемещать произвольным образом тело, предполагая все время, что силы постоянны по величине и направлению. Существует бесчисленное множество положений, при которых силы Fu приводятся к одной равнодействующей. Совокупность этих равнодействующих о(Зразует в теле множество лучей, которые пересекают два фиксированных конических сечения (фокальные конические сечения), находящихся в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. (См. Crelle, т. 14, 15.)

• 11, Оси равновесия. Рассмотрим свободное твердое тело, удовлетворяющее указанным выше условиям: когда тело меняет свое положение, действующие на него силы сохраняют величину и направление и остаются приложенными к одним и тем же точкам тела. Как мы уже говорили, поступательное перемещение ничего не меняет в состоянии тела и поэтому достаточно исследовать влияние вращений. Допустим, что тело в рассматриваемом положенчи находится в равновесии, и пололим, как и Мёбиус (Статика, гл. VIII), что

yZzYF, zX==xZ=G, xY=yX=H,

2хХ=;, yY = m, zZ = n.

где суммы распространены на все силы. Мёбиус назвал осью равновесия прямую, при повороте вокруг которой на произвольный угол тело остается в равновесии. Для того чтобы ось Oz была осью равновесия, необходимо и достаточно, чтобы, кроме шести уравнений рав ;овесия, выполнялись следующие условия:

F = Q, G = 0, l + m=0.

12. Астатическое равновесие. Говорят, что равновесие является астатическим, когда при тех же условиях в отношении сил, что и в предыдущем упражнении, это равновесие существует, каково бы ни было заданное положение тела. Для этого необходимо, чтобы каждая из трех осей координат Ох, Оу, Oz была осью равновесия, т. е. чтобы, кроме шести условий равновесия, выполнялись еще следующие шесть условий:

F=0, G = 0, Я=0, 1 = 0, т = 0, п = 0.

Эти условия, необходимые для астатического равновесия, являются и достаточными.

13. Если на тело действуют две постоянные по величине и направлению силы, приложенные в двух фиксированных точках, то всегда существует ось, параллельная заданному направлению, причем такая, что если ее закрепить, то тело будет оставаться в безразличном равновесии во всех положениях, которое оно может принимать (Мёбиус).

14. Если тело находится в астатическом равновесии и действующие силы параллельны данному направлению, то система параллельных сил находится в равновесии. Центр тех из этих параллельных сил, которые направлены в одну сторону, совпадает с центром параллельных сил, направленных в противоположную сторону.





0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 [44] 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167

0.0037